Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Ddosbarthiad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd arwahanol a ddefnyddir amlaf. Mae'n ddefnyddiol ar gyfer modelu nifer y llwyddiannau ar draws nifer o dreialon annibynnol, union yr un fath, pob un ohonynt yn cynhyrchu naill ai llwyddiant neu fethiant. Yn yr erthygl hon, byddwn yn ymchwilio'n ddyfnach i'r dosraniad binomial trwy ddarparu sawl enghraifft a thrafodaeth fanwl.
Cyflwyniad i Ddosbarthiad Binomial
Prif nodweddion dosraniad binomial:
1. n : Nifer y treialon neu'r ailadroddiadau.
2. p : Tebygolrwydd llwyddiant ym mhob treial.
3. q = 1-p : Tebygolrwydd methu ym mhob treial.
Ffwythiant màs tebygolrwydd y dosraniad binomial yw:
\[ P(X = k) = {n \dewis k} p^k (1-p)^{nk} \]
Ble:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Newidyn ar hap sy'n cynrychioli nifer y llwyddiannau.
– \( k \): Nifer y llwyddiannau a geisiwyd.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Gadewch i ni ddechrau gyda rhai problemau enghreifftiol i ddeall y cysyniad o ddosraniad binomial yn fanylach.
Enghraifft 1: Dewis o Grŵp o Fyfyrwyr
Er enghraifft, tybiwch fod gennym grŵp o 10 myfyriwr, a bod y tebygolrwydd y bydd pob myfyriwr yn cael ei ddewis i gymryd rhan mewn cystadleuaeth yn 0,3. Rydym am wybod y tebygolrwydd y bydd 4 myfyriwr yn union yn cael eu dewis.
Cam 1: Nodwch baramedrau'r dosraniad binomial.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Cam 2: Defnyddiwch y dosraniad binomial i gyfrifo tebygolrwydd \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \dewis 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Cyfrifo \( {10 \dewis 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Nawr cyfrifwch \( (0.3)^4 \) a \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Felly,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 tua 0.20012]
Felly, y tebygolrwydd y bydd 4 myfyriwr yn union yn cael eu dewis yw tua 0.20012 neu 20.012%.
Enghraifft 2: Tebygolrwydd Llai na neu'n Hafal i 2
Nawr, er enghraifft, gofynnir i ni am y tebygolrwydd y bydd llai na neu'n hafal i 2 fyfyriwr yn cael eu dewis.
Cam 1: Rhaid i ni gyfrifo \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), a \( P(X = 2) \).
– Ar gyfer \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \dewis 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \dewis 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475]
– Ar gyfer \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \dewis 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \dewis 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824]
– Ar gyfer \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \dewis 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \dewis 2} = 45 \]
[(0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744]
Cam 2: Adio'r tebygolrwyddau at ei gilydd.
[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671]
Felly, y tebygolrwydd y dewisir llai na neu'n hafal i 2 fyfyriwr yw tua 0.7740671 neu 77.41%.
Enghraifft 3: Tebygolrwydd o leiaf 8
Os perfformir arbrawf 12 gwaith, a bod tebygolrwydd llwyddiant ym mhob treial yn 0.5, beth yw'r tebygolrwydd y bydd o leiaf 8 llwyddiant yn digwydd?
Cam 1: Gosodwch y paramedrau binomial: \(n = 12, p = 0.5 \).
Cam 2: Dewch o hyd i'r tebygolrwydd ar gyfer \( X \geq 8 \).
Mae hyn yn gofyn am gyfrifo sawl tebygolrwydd unigol a'u hadio at ei gilydd:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Cyfrifwch un wrth un:
– Ar gyfer \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \dewis 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \dewis 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[P(X = 8) = 495 ≥ 0.0002441406 = 0.1208496]
– Ar gyfer \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \dewis 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \dewis 9} = 220 \]
[P(X = 9) = 220 ≥ 0.0002441406 = 0.05371094]
– Ar gyfer \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \dewis 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \dewis 10} = 66 \]
[P(X = 10) = 66 ≥ 0.0002441406 = 0.01611328]
– Ar gyfer \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \dewis 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \dewis 11} = 12 \]
[P(X = 11) = 12 ≥ 0.0002441406 = 0.002929688]
– Ar gyfer \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \dewis 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \dewis 12} = 1 \]
[P(X = 12) = 1 ≥ 0.0002441406 = 0.0002441406]
Cam 3: Adio'r holl debygolrwyddau.
[P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 tua 0.1938477]
Felly, y tebygolrwydd y bydd o leiaf 8 llwyddiant yn digwydd mewn 12 treial yw tua 0.1938477 neu 19.38%.
Casgliad
Mae'r dosraniad binomial yn gysyniad sylfaenol mewn ystadegaeth sy'n hanfodol mewn llawer o gymwysiadau ymarferol. Drwy ddeall sut i gyfrifo tebygolrwyddau ar gyfer gwahanol achosion o'r dosraniad binomial, fel y dangosir yn yr enghreifftiau uchod, gallwn gymhwyso'r cysyniad hwn mewn sefyllfaoedd byd go iawn. Mae'r ymarfer hwn hefyd yn atgyfnerthu ein dealltwriaeth o sut mae strwythurau tebygolrwydd yn gweithio mewn cyd-destun clir a threfnus.
