Enghraifft o Gwestiwn Trafod ar Arcau Cylchol
Mewn geometreg, mae'r cylch yn ffigur plân gyda llawer o gysyniadau diddorol i'w hastudio, ac un ohonynt yw'r arc. Arc yw'r rhan o ymyl cylch sydd rhwng dau bwynt ar y cylch. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio amrywiol broblemau enghreifftiol a'u datrysiadau sy'n gysylltiedig ag arcau.
Dealltwriaeth Sylfaenol o Arcau Cylchol
Cyn symud ymlaen at y cwestiynau enghreifftiol, mae'n bwysig deall rhai cysyniadau sylfaenol yn gyntaf:
1. Cylch:
Cylch yw'r casgliad o'r holl bwyntiau mewn plân sydd yr un pellter o bwynt canol penodol.
2. Radiws (Bysedd):
Y radiws yw'r pellter o ganol y cylch i unrhyw bwynt ar ymyl y cylch.
3. Diamedr:
Y diamedr yw'r pellter hiraf o un pwynt ar ymyl cylch i bwynt arall ar yr ochr gyferbyn trwy'r canol. Mae'r diamedr ddwywaith y radiws.
4. Bwa:
Mae arc yn rhan o ymyl cylch. Os yw pwyntiau A a B yn gorwedd ar ymyl cylch, yna arc AB yw'r rhan o'r cylch rhwng A a B.
Fformwlâu sy'n Gysylltiedig ag Arcau Cylchoedd
I fesur hyd arc, mae angen i ni ddeall sawl fformiwla:
1. Hyd yr Arc (L):
Hyd arc crwn yw hyd ymyl y cylch sy'n cynnwys yr arc. Y fformiwla yw:
\[
L = r \times \theta
\]
lle mae r yn radiws y cylch a heta yw'r ongl ganolog mewn radianau sy'n croestorri'r arc.
2. Hyd yr Arc mewn Graddau:
Os yw'r ongl ganolog mewn graddau, rydym yn defnyddio'r fformiwla:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
lle mae ∫( ∫theta ) yn ongl ganolog mewn graddau.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1: Cyfrifo Hyd yr Arc
Cwestiwn:
Mae gan gylch radiws o 10 cm. Cyfrifwch hyd yr arc sy'n cael ei hategu gan ongl ganolog o 60 gradd.
Trafodaeth:
– Radiws y cylch (\(r \)) = 10 cm
– Ongl ganolog (\( \theta \)) = 60°
Gan ddefnyddio'r fformiwla hyd arc mewn graddau:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{1}{6} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{ cm}
\]
\[
H \tua 10.47 \text{ cm}
\]
Felly, mae hyd yr arc tua 10.47 cm.
Cwestiwn 2: Pennu'r Ongl Ganolog o Hyd yr Arc
Cwestiwn:
O ystyried cylch â radiws o 14 cm a hyd arc o 22 cm. Pennwch yr ongl ganolog sy'n croestorri'r arc mewn graddau.
Trafodaeth:
– Radiws y cylch (\(r \)) = 14 cm
– Hyd yr arc (\(L \)) = 22 cm
Defnyddiwch y fformiwla hyd arc i ddod o hyd i \( \theta \):
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
Amnewid gwerthoedd hysbys:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi \times 14
\]
Ynysu \( \theta \):
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 \times 360^\circ = \theta \times 28 \pi
\]
\[
7920 = ∫heta × 28 pi
\]
\[
θ = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
\theta \tua 90.72^\circ
\]
Felly, mae maint yr ongl ganolog tua 90.72 gradd.
Cwestiwn 3: Cyfrifo Arwynebedd Sector
Cwestiwn:
Mae sector cylch yn cael ei ffurfio gan ongl ganolog o 120 gradd gyda radiws o 7 cm. Pennwch arwynebedd y sector.
Trafodaeth:
– Radiws y cylch (\(r \)) = 7 cm
– Ongl ganolog (\( \theta \)) = 120°
Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer arwynebedd sector:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times π r^2
\]
Amnewid gwerthoedd hysbys:
\[
A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times π \times 7^2
\]
\[
A = \frac{1}{3} \times \pi \times 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \tua 51.43 \text{ cm}^2
\]
Felly, mae arwynebedd y sector tua 51.43 cm².
Cwestiwn 4: Pennu'r Arc o Arwynebedd Sector
Cwestiwn:
Arwynebedd sector cylch gyda radiws o 6 cm yw 18π cm². Beth yw hyd arc y sector?
Trafodaeth:
– Radiws y cylch (\(r \)) = 6 cm
– Arwynebedd y sector (\( A \)) = 18π cm²
Defnyddiwch y fformiwla arwynebedd ar gyfer sector i ddod o hyd i'r ongl ganolog \( \theta \):
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times π r^2
\]
Amnewid gwerthoedd hysbys:
\[
18\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 6^2
\]
\[
18\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36\pi
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 \times 360^\circ = \theta \times 36
\]
\[
6480 = ∫heta × 36
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
\theta = 180^\circ
\]
Nawr, gydag ongl ganolog o 180 gradd, rydym yn pennu hyd yr arc:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = \frac{1}{2} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = π gwaith 6
\]
\[
H \tua 18.85 \text{ cm}
\]
Felly, mae hyd yr arc tua 18.85 cm.
Casgliad
Mae deall arcau crwn a sut i'w cyfrifo yn sylfaen hanfodol mewn geometreg a mathemateg yn gyffredinol. Trwy'r enghreifftiau a drafodir yn yr erthygl hon, disgwylir i ddarllenwyr gael gwell dealltwriaeth o sut i gyfrifo hyd arc, arwynebedd sector, a phennu'r ongl ganolog sy'n croestorri arc. Bydd dealltwriaeth dda o'r cysyniadau sylfaenol hyn yn ddefnyddiol iawn wrth ddatrys amrywiol broblemau sy'n cynnwys cylchoedd.
