Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod y Rheolau ar gyfer Llenwi Bylchau
Mae'r rheol llenwi lle, neu'r rheol lleoli, yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg a thebygolrwydd sy'n ddefnyddiol iawn mewn llawer o sefyllfaoedd. Defnyddir y rheol hon fel arfer yng nghyd-destun trefnu gwrthrychau mewn trefn benodol neu mewn gwahanol drefniadau. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol sy'n cynnwys y rheol llenwi lle, gan ddarparu atebion manwl ar gyfer pob un.
Rhagymadrodd
Mae llenwi gofod yn dechneg gyffredin a ddefnyddir mewn cyfuniadeg, maes o fathemateg sy'n astudio trefniant, cyfuniad a dewis gwrthrychau. Un o egwyddorion sylfaenol cyfuniadeg yw'r rheol lluosi, sy'n nodi os oes sawl cam mewn proses a bod gan bob cam nifer penodol o ddewisiadau, yna gellir canfod cyfanswm y trefniadau posibl trwy luosi nifer y dewisiadau ym mhob cam.
Er enghraifft, os oes gennym ddau gam lle mae gan y cam cyntaf \(m\) dewisiadau a'r ail gam \(n\) dewisiadau, yna cyfanswm y trefniadau posibl yw \(m \times n\).
Gadewch i ni gymhwyso'r cysyniad hwn i ddatrys rhai problemau enghreifftiol.
Enghraifft 1: Trefnu Llyfrau ar Silff
Cwestiwn:
Mae 5 llyfr gwahanol a silff lyfrau gyda 5 lle i'w llenwi. Sawl ffordd y gellir trefnu'r pum llyfr ar y silff?
Trafodaeth:
Yn yr achos hwn, mae angen i ni drefnu'r pum llyfr mewn pum gofod gwahanol. Mae hon yn broblem permutation oherwydd bod trefn yn hanfodol. Gallwn ddefnyddio'r rheol llenwi gofod neu'r rheol lluosi i ddatrys y broblem hon.
1. Ar gyfer yr ystafell gyntaf, mae gennym ni 5 dewis o lyfrau.
2. Ar ôl i un llyfr gael ei roi yn yr ystafell gyntaf, mae gennym 4 dewis llyfr ar ôl ar gyfer yr ail ystafell.
3. Ar gyfer y drydedd ystafell, mae gennym 3 dewis llyfr ar ôl, ac yn y blaen.
Y hafaliad ar gyfer cyfanswm y gosodiadau yw:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
Felly, mae 120 o ffyrdd i drefnu'r pum llyfr.
Enghraifft 2: Gwneud Geiriau o Lythrennau Gwahanol
Cwestiwn:
Faint o eiriau gwahanol y gellir eu ffurfio gan ddefnyddio'r holl lythrennau yn y gair “MATHEMATEG”, heb eu hailadrodd?
Trafodaeth:
Yn gyntaf mae angen i ni weld faint o lythrennau sydd yn y gair "MATHEMATEG". Mae 11 llythyren, ac mae rhai ohonynt yn cael eu hailadrodd. Y llythrennau sy'n cael eu hailadrodd yw:
– M cymaint â 2
– Cymaint â 3
– Cymaint â 2
– Mae'r llythrennau eraill (E, I, K) yn ymddangos unwaith yr un.
Rydym yn defnyddio'r fformiwla permutation ar gyfer elfennau ailadroddus, sef:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
lle mae \(n \) yn gyfanswm nifer yr elfennau (llythrennau) ac \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) yn nifer yr ailadroddiadau o bob elfen wahanol.
Gyda'r gair “MATHEMATEG”:
[n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)]
Felly nifer y geiriau y gellir eu ffurfio yw:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Mae 1,663,200 o eiriau gwahanol y gellir eu ffurfio.
Enghraifft 3: Pennu Nifer y Cyfuniadau yn Martabak
Cwestiwn:
Mae gwerthwr martabak yn cynnig pum opsiwn llenwad (caws, siocled, cnau daear, banana, a rhesins). Os yw cwsmer eisiau dewis tri o'r pum llenwad ar gyfer eu martabak, faint o gyfuniadau gwahanol y gallant eu dewis?
Trafodaeth:
Problem gyfuniad yw hon, nid permutiad, oherwydd nid yw'r drefn yn bwysig. Rydym yn defnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
lle mae \(n \) yn gyfanswm y dewisiadau, a \(k \) yn nifer y dewisiadau a gymerwyd.
Ar gyfer yr achos hwn, \(n = 5 \) a \(k = 3 \), felly:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Mae 10 cyfuniad gwahanol i ddewis 3 cynnwys o 5 opsiwn.
Enghraifft 4: Trefniant Cyfranogwyr mewn Gêm
Cwestiwn:
Mae 8 o gyfranogwyr mewn ras rhedeg. Sawl ffordd y gellir gosod y 3 gorffennwr gorau?
Trafodaeth:
Mae hon yn broblem permutation heb ailadrodd oherwydd bod safle yn golygu bod trefn yn bwysig. Rydym yn defnyddio'r fformiwla permutation:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Ar gyfer yr achos hwn, \(n = 8 \) a \(k = 3 \), yna:
[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Felly, mae 336 o ffyrdd i osod y tri safle uchaf o 8 cyfranogwr.
Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod sawl problem enghreifftiol a'u datrysiadau gan ddefnyddio rheolau llenwi bylchau mewn amrywiaeth o sefyllfaoedd: o drefnu llyfrau ar silff i benderfynu ar enillydd cystadleuaeth. Bydd deall yr egwyddorion sylfaenol hyn yn rhoi mwy o hyder i chi wrth ddatrys y gwahanol broblemau cyfuniad a thebygolrwydd y gallech ddod ar eu traws.
