Cwestiynau Enghreifftiol ar Ddadansoddi Data a Thrafodaeth Cyfleoedd
Mae dadansoddi data a thebygolrwydd yn ddau faes a geir yn aml mewn gwahanol ddisgyblaethau, yn enwedig ystadegau, mathemateg, economeg ac ymchwil marchnad. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth sy'n gysylltiedig â dadansoddi data a thebygolrwydd i ddyfnhau ein dealltwriaeth o'r cysyniadau sylfaenol hyn.
1. Dadansoddi Data: Cyflwyniad a Chwestiynau Enghreifftiol
Dadansoddi data yw'r broses o archwilio, dewis, trawsnewid a modelu data gyda'r nod o ddarganfod gwybodaeth ddefnyddiol, tynnu casgliadau a chefnogi gwneud penderfyniadau. Mae camau nodweddiadol yn cynnwys casglu data, glanhau data, archwilio data (ystadegau disgrifiadol), a dadansoddi pellach.
Cwestiwn Enghraifft 1: Pennu'r Cyfartaledd a'r Gwyriad Safonol
O ystyried y data canlynol ynghylch sgoriau profion mathemateg 10 myfyriwr: 78, 82, 85, 88, 90, 75, 91, 74, 89, 86.
Cyfrifwch y cymedr a'r gwyriad safonol o'r data.
Trafodaeth:
– Y gwerth cymedrig yw cyfanswm yr holl ddata wedi'i rannu â nifer yr arsylwadau.
\[
\text{Cymedr} = \frac{78 + 82 + 85 + 88 + 90 + 75 + 91 + 74 + 89 + 86}{10} = \frac{838}{10} = 83.8
\]
– I gyfrifo’r gwyriad safonol, mae angen i ni gyfrifo’r amrywiant yn gyntaf. Cyfartaledd y gwahaniaethau sgwâr rhwng pob set ddata a’r cymedr yw amrywiant.
\[
\text{Amrywiant} = \frac{(78-83.8)^2 + (82-83.8)^2 + (85-83.8)^2 + \cdots + (86-83.8)^2}{10}
\]
Yna cyfrifir yr amrywiant fel a ganlyn:
\[
\text{Amrywiant} = \frac{33.64 + 3.24 + 1.44 + 17.64 + 38.44 + 75.04 + 50.41 + 94.44 + 26.01 + 4.84}{10} = \frac{345.14}{10} = 34.514
\]
– Gwyriad safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant.
\[
\text{Gwyriad Safonol} = \sqrt{34.514} ≈ 5.88
\]
Cwestiwn Enghraifft 2: Graff Data
O ystyried data poblogaeth dinas am y 5 mlynedd diwethaf fel a ganlyn (mewn miloedd): 2016: 120, 2017: 125, 2018: 130, 2019: 135, 2020: 140.
Creu graff llinell i gynrychioli'r data.
Trafodaeth:
I greu graff llinell, gallwn ddilyn y camau hyn:
1. Penderfynwch ar echelinau X ac Y. Mae'r echelin X ar gyfer blynyddoedd ac mae'r echelin Y ar gyfer poblogaeth.
2. Plotiwch y pwyntiau yn seiliedig ar y data a roddir:
– (2016, 120)
– (2017, 125)
– (2018, 130)
– (2019, 135)
– (2020, 140)
3. Cysylltwch y dotiau â llinellau.
Bydd y graff sy'n deillio o hyn yn dangos y duedd o gynyddu'r boblogaeth drefol o 2016 i 2020.
2. Tebygolrwydd: Hanfodion a Phroblemau Enghreifftiol
Mae ods neu debygolrwydd yn fesur o ba mor debygol yw hi y bydd digwyddiad yn digwydd. Fel arfer, mynegir tebygolrwydd digwyddiad A fel \( P(A) \) ac fe'i cyfrifir fel:
\[
P(A) = \frac{\text{Nifer y digwyddiadau dymunol}}{\text{Cyfanswm y digwyddiadau posibl}}
\]
Cwestiwn Enghraifft 3: Tebygolrwydd Syml
O becyn safonol o gardiau chwarae, beth yw'r tebygolrwydd o dynnu As?
Trafodaeth:
– Mewn un set o gardiau chwarae mae 52 o gardiau.
– Mae 4 cerdyn As (calonnau, diemwntau, clybiau a rhawiau).
– Y tebygolrwydd o dynnu As yw:
\[
P(\text{As}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769 \text{ neu } 7.69\%
\]
Cwestiwn Enghraifft 4: Treialon Olynol
Mae dau ddis yn cael eu rholio ar yr un pryd. Dewch o hyd i'r tebygolrwydd bod swm y ddau ddis yn 7.
Trafodaeth:
– At ei gilydd mae 6 × 6 = 36 o ganlyniadau posibl o ddau ddis.
– Y cyfuniadau sy'n cynhyrchu cyfanswm o 7 yw: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Felly mae 6 digwyddiad.
– Y tebygolrwydd bod swm y ddau ddis yn 7 yw:
\[
P(\text{Cyfanswm 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \text{ neu } 16.67\%
\]
Cwestiwn Enghraifft 5: Rheol Bayes
O ystyried bod gan 1 o bob 1000 o bobl glefyd X. Mae gan brawf i ganfod clefyd X gyfradd gywirdeb o 99% (p'un a yw'n bositif neu'n negatif). Os yw person yn profi'n bositif, beth yw'r tebygolrwydd bod ganddo neu ganddi glefyd X mewn gwirionedd? Tybiwch fod y prawf yn 95% sensitif ac yn 98% penodol.
Trafodaeth:
Er enghraifft:
– P(P) yw'r tebygolrwydd y bydd person yn profi'n bositif,
– P(D) yw'r tebygolrwydd bod gan berson y clefyd,
– P(P|D) yw'r tebygolrwydd o brofi'n bositif os oes gan berson y clefyd,
– P(D|P) yw'r tebygolrwydd o gael y clefyd os yw person yn profi'n bositif.
Yn ôl Theorem Bayes:
\[
P(D|P) = \frac{P(P|D) \cdot P(D)}{P(P)}
\]
Yn gyntaf cyfrifwch P(P):
\[
P(P) = P(P|D) ⋅ P(D) + P(P|D^c) ⋅ P(D^c)
\]
\[
P(P) = 0.95 ⋅ 1000 + 0.02 ⋅ 999 ⋅ 1000 \tua 0.0211
\]
Nawr,
\[
P(D|P) = \frac{0.95 \cdot \frac{1}{1000}}{0.0211} ≈ 0.045 \text{ neu 4.5%}
\]
Felly, os bydd prawf positif ar berson, y siawns ei fod ef neu hi mewn gwirionedd yn dioddef o glefyd X yw tua 4.5%.
Casgliad
Mae dadansoddi data a dadansoddi tebygolrwydd yn offer hanfodol mewn amrywiol feysydd fel ymchwil, economeg a gofal iechyd. Drwy ddeall sut maen nhw'n gweithio, gallwn wneud rhagfynegiadau gwell, gwneud penderfyniadau gwell a rheoli risgiau. Drwy'r enghreifftiau a'r trafodaethau hyn, rydym yn cael gwell dealltwriaeth o sut y gellir dadansoddi data a sut y gellir cyfrifo tebygolrwyddau amrywiol ddigwyddiadau. Gobeithiwn fod yr erthygl hon wedi bod o gymorth i ddyfnhau ein dealltwriaeth o ddadansoddi data a dadansoddi tebygolrwydd.
