Cymwysiadau Deilliadau mewn Amrywiol Feysydd Gwyddoniaeth
Mae'r deilliad yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws, a gyflwynwyd gan Syr Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddiwedd yr 17eg ganrif. Mewn mathemateg, mae deilliad yn cynrychioli cyfradd newid ffwythiant mewn perthynas ag un o'i newidynnau. Nid yn unig mae'r cysyniad hwn yn sylfaenol i fathemateg ei hun ond mae ganddo hefyd gymwysiadau eang mewn amrywiol feysydd gwyddoniaeth eraill. Bydd yr erthygl hon yn trafod amrywiol gymwysiadau deilliadau mewn amrywiol ddisgyblaethau, o ffiseg ac economeg i fioleg a pheirianneg i gyfrifiadureg.
1. Ffiseg
Mae deilliadau'n bwysig iawn mewn ffiseg, yn enwedig mewn mecaneg glasurol. Un o'r enghreifftiau mwyaf sylfaenol yw'r berthynas rhwng safle, cyflymder a chyflymiad. Os yw \( s(t) \) yn safle gwrthrych fel ffwythiant o amser, yna:
– Cyflymder (\(v(t) \)) yw'r deilliad cyntaf o safle mewn perthynas ag amser: \(v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).
– Cyflymiad (\( a(t) \)) yw'r deilliad cyntaf o gyflymder neu'r ail ddeilliad o safle mewn perthynas ag amser: \( a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2s(t)}{dt^2} \).
Yn ogystal, mewn electromagnetiaeth, mae cyfraith Faraday ar gyfer anwythiad electromagnetig yn nodi bod y grym electromotif (EMF) a anwythir mewn cylched yn ddeilliad o'r fflwcs magnetig mewn perthynas ag amser.
2. Economi
Mewn economeg, defnyddir deilliadau i ddadansoddi newidiadau mewn cost, refeniw, a ffwythiannau cynhyrchu. Er enghraifft:
– Cost Ymylol (Cost Ymylol) yw deilliad y ffwythiant cost cyfanswm mewn perthynas â maint yr allbwn, sy'n dangos sut mae costau cyfanswm yn newid wrth i gynhyrchiant gynyddu: \( MC = \frac{dTC}{dQ} \).
– Refeniw Ymylol (Refeniw Ymylol) yw deilliad y ffwythiant refeniw cyfan mewn perthynas â maint yr allbwn, sy'n disgrifio'r refeniw ychwanegol pan gynyddir gwerthiant: \( MR = \frac{dTR}{dQ} \).
Cymhwysiad pwysig arall yw mewn damcaniaeth cyfleustodau. Mae'r ffwythiant cyfleustodau yn disgrifio'r boddhad neu'r cyfleustodau a geir o ddefnyddio nwyddau a gwasanaethau. Gelwir y deilliad cyntaf o'r ffwythiant cyfleustodau yn gyfleustodau ymylol, sy'n dangos y boddhad ychwanegol a geir o ddefnyddio uned ychwanegol o nwydd neu wasanaeth.
3. Bioleg
Mewn bioleg, defnyddir deilliadau i fodelu amrywiol brosesau deinamig. Er enghraifft, mewn ecoleg, mae modelau twf poblogaeth yn aml yn defnyddio deilliadau i ddisgrifio cyfradd twf poblogaeth. Mae'r modelau twf esbonyddol a logistaidd yn ddau enghraifft gyffredin:
– Model twf esbonyddol: \( \frac{dN}{dt} = rN \), lle mae \( N \) yn faint y boblogaeth ac \( r \) yn gyfradd twf gynhenid.
– Model twf logistaidd: (\frac{dN}{dt} = rN (1 – \frac{N}{K})), lle mae (K) yn cynrychioli'r capasiti amgylcheddol ac (\left(1 – \frac{N}{K})) yn ffactor lleihau sy'n lleihau'r gyfradd twf wrth i'r capasiti amgylcheddol agosáu.
Mewn ffisioleg, defnyddir deilliadau i fodelu prosesau ffisiolegol fel llif y gwaed a throsglwyddo signalau nerf. Er enghraifft, mae cyfraith Darcy ar gyfer llif y gwaed mewn pibellau gwaed yn defnyddio deilliadau i ddisgrifio newidiadau mewn pwysedd gwaed ar hyd y pibell.
4. Techneg
Mae deilliadau hefyd yn bwysig iawn mewn gwahanol ganghennau peirianneg. Mewn peirianneg sifil a mecaneg, defnyddir deilliadau mewn dadansoddi strwythurol a mecaneg hylifau. Er enghraifft:
– Mewn dadansoddi strwythurol, defnyddir y dull elfennau meidraidd i bennu anffurfiadau a straen mewn strwythurau. Mae deilliad y ffwythiant dadleoli yn rhoi'r straen, ac mae deilliad y straen yn rhoi'r straen.
– Mewn mecaneg hylifau, mae hafaliadau Navier-Stokes yn disgrifio llif hylifau. Mae'r hafaliadau hyn yn hafaliadau differol sy'n cynnwys deilliadau rhannol cyflymder hylif mewn perthynas ag amser a gofod.
Mewn peirianneg drydanol, defnyddir deilliadau wrth ddadansoddi cylchedau trydanol. Mae deddfau Kirchhoff a damcaniaeth rhwydwaith yn aml yn cynnwys deilliadau i ddisgrifio'r berthynas rhwng cerrynt, foltedd ac anwythiad mewn cylchedau trydanol.
5. Cyfrifiadureg
Mewn cyfrifiadureg, defnyddir deilliadau mewn optimeiddio a dysgu peirianyddol. Un o'r prif gymwysiadau yw mewn algorithmau optimeiddio fel disgyniad graddiant. Defnyddir yr algorithm hwn i leihau swyddogaeth gost yn y broses hyfforddi o fodel dysgu peirianyddol:
– Y graddiant yw'r fector deilliadol cyntaf o'r ffwythiant cost mewn perthynas â pharamedrau'r model, sy'n nodi cyfeiriad y newid mwyaf.
– Mae disgyniad graddiant yn broses iterus sy'n defnyddio graddiannau i ddiweddaru paramedrau model tuag at isafswm y ffwythiant cost.
Yn ogystal, mewn graffeg gyfrifiadurol, defnyddir deilliadau i drin goleuadau a chysgodion. Mae cyfraith Lambert a model goleuo Phong yn defnyddio deilliadau i gyfrifo dwyster golau sy'n cael ei adlewyrchu o arwyneb sy'n agored i ffynhonnell golau.
6. Cemeg
Mewn cemeg, defnyddir deilliadau mewn cineteg adwaith i ddisgrifio cyfradd adwaith cemegol. Fel arfer, mynegir y gyfradd adwaith fel deilliad crynodiad adweithydd neu gynnyrch mewn perthynas ag amser. Er enghraifft, ar gyfer yr adwaith cyntaf:
\[ \text{Adweithyddion} \rightarrow \text{Cynhyrchion} \]
Gellir mynegi'r gyfradd adwaith \( r(t) \) fel:
\[ r(t) = – \frac{d[\text{Adweithydd}]}{dt} = \frac{d[\text{Cynnyrch}]}{dt} \]
Yn ogystal, defnyddir deilliadau mewn thermodynameg i ddadansoddi newidiadau ynni mewn system. Er enghraifft, mae ynni rhydd Gibbs (G) yn ffwythiant thermodynamig a ddefnyddir yn aml i ragweld cyfeiriad adweithiau cemegol, ac mae deilliad cyntaf G mewn perthynas â graddau rhyddid system yn darparu gwybodaeth am gyflwr ecwilibriwm thermodynamig.
Casgliad
O'r esboniad uchod, mae'n amlwg bod gan y cysyniad o ddeilliadau gymwysiadau eang ar draws amrywiol feysydd gwyddonol. Mewn ffiseg, mae deilliadau'n disgrifio'r berthynas sylfaenol rhwng safle, cyflymder a chyflymiad. Mewn economeg, defnyddir deilliadau i ddadansoddi costau ymylol a refeniw. Mewn bioleg, mae deilliadau'n helpu i fodelu twf poblogaeth a phrosesau ffisiolegol. Mewn peirianneg, mae deilliadau'n hanfodol mewn dadansoddi strwythurol a mecaneg hylifau. Mae cyfrifiadureg yn defnyddio deilliadau mewn algorithmau optimeiddio a dysgu peirianyddol. Mewn cemeg, defnyddir deilliadau mewn cineteg adwaith a thermodynameg. Felly, mae deall a meistroli'r cysyniad o ddeilliadau yn hanfodol i wyddonwyr a pheirianwyr ar draws amrywiol ddisgyblaethau.
