Srážky impulsů a hybností – problémy a řešení

Srážky impulsů a hybností – problémy a řešení

1. Gumová střela o hmotnosti 40 gramů vystřelila vodorovně do zdi, jak je znázorněno na obrázku níže. Střela se odrazila stejnou rychlostí. Jaká je změna v spád z míče?

Známý:

Hmota (m) = 40 gramů = 0.04 kg

Počáteční rychlost (v_o) = – 50 m/s

Konečná rychlost (v_t) = 50 m/s

Směr pohybu kuličky (směr rychlosti) je opačný, takže počáteční a konečná rychlost mají opačná znaménka.

Hledá se: Změna hybnosti míče

Řešení:

Změna hybnosti:

Δp = m(v)_t - v_o) = (0.04)(50 – (-50)) = (0.04)(50 + 50)

Δp = (0.04)(100) = 4 Ns

2. Gumový míč o hmotnosti 75 gramů je hozen vodorovně tak, aby narazil do zdi, jak je znázorněno na obrázku níže. Míč se odráží stejnou rychlostí. Jaký je impuls?

Známý:

Hmotnost koule (m) = 75 gramů = 0.075 kg

Počáteční rychlost (v_o) = -20 m/s

Konečná rychlost (v_t) = 20 m/s

Směr pohybu kuličky (směr rychlosti) je opačný, takže počáteční a konečná rychlost mají opačná znaménka.

Hledá se: Impuls

Řešení:

Impuls = Změna hybnosti

I = Δp

I = m(v)_t - v_o) = 0.075 (20 – (-20)) = 0.075 (20 + 20) = 0.075 (40)

I = 3 N s = 3 Newton sekundy

Dokonale elastická srážka

3. Dvě koule, A a B, se k sobě přibližují po vodorovné rovině. Rychlost koule A, v_A = 4 m/s a rychlost koule B, v_B = 6 m/s. Srážka je dokonale pružná. Rychlost tělesa B po srážce je 4 m/s. Jaká je rychlost koule A po srážce?

Známý:

Hmotnost koule A (m_A) = m

Hmotnost koule B (m_B) = m

Rychlost kuličky A před srážkou (v_A) = 4 m/s

Rychlost kuličky B před srážkou (v_B) = 6 m/s

Rychlost kuličky B po srážce (v_B') = 4 m/s

Hledám: Rychlost kuličky A po srážce (v_A')

Řešení:

Hmotnosti kuliček jsou stejné, takže:

Rychlost kuličky A před srážkou (v_A) = rychlost koule B po srážce (v_B') = 4 m/s

Rychlost kuličky B před srážkou (v_B) = rychlost kuličky A po srážce (v_A') = 6 m/s

Částečně elastické srážky

4. Dva objekty s stejná hmota se pohybuje přímočaře a přibližuje se navzájem, jak je znázorněno na obrázku níže. Pokud v₂ je rychlost objektu 2, po srážce vpravo v čase 5 ms^-1, pak rychlost objektu (1) po srážce je…

Známý:

Hmotnost objektu = m

Rychlost objektu 1 před srážkou (v₁) = 8 m/s

Rychlost objektu 2 před srážkou (v₂) = 10 m/s

Rychlost objektu 2 po srážce (v₂') = 5 m/s

Hledá se: Rychlost objektu 1 po srážce (v₁')

Řešení:

m₁ v₁+m₂ v₂ = m₁ v₁' + m₂ v₂"

m (v)₁ +v₂) = m (v₁' + v₂')

v₁ +v₂ = v₁' + v₂"

8 + 10 = v₁' + 5

18 = v₁' + 5

v₁' = 18-5

v₁' = 13 m/s

5. Předmět A o hmotnosti 4 kg a předmět B o hmotnosti 5 kg se k sobě přibližují po vodorovné rovině, jak je znázorněno na obrázku níže. Po srážce je rychlost koule A = 4 m/s a rychlost koule B = 2 m/s. Jaká je rychlost koule B před srážkou?

Známý:

Hmotnost objektu A (m_A) = 4 kg

Hmotnost objektu BB (m_B) = 5 kg

Rychlost objektu A před srážkou (v_A) = 6 m/s

Rychlost objektu A po srážce (v_A') = 4 m/s

Rychlost objektu B po srážce (v_B') = -2 m/s

Znaménka plus a mínus označují, že kuličky mají opačný směr.

Hledá se: Rychlost kuličky B před srážkou (v_B)

Řešení:

m_A v_A +m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B"

(4) (6) + (5) (-2) = (4) (4) + (5) (v_B')

24 – 10 = 16 + 5(v)_B')

14 – 16 = 5 (v_B')

-2 = 5 (v_B')

v_B' = -2/5

v_B' = -0.4

Znaménko mínus značí, že směr míče po srážce je opačný než směr míče před srážkou.

InePlastové kolize

6. Koule o hmotnosti 2 kg a koule o hmotnosti 1 kg se k sobě přibližují ve vodorovné rovině, jak je znázorněno na obrázku níže.

Rychlost kuličky 1, v₁ = 2 ms^-1 a rychlost koule 2, v₂ = 4 ms^-1Po srážce se obě slepí. Jaká je rychlost po srážce?

Známý:

Hmotnost koule 1 (m₁) = 2 kg

Hmotnost koule 2 (m₂) = 1 kg

Rychlost kuličky 1 před srážkou (v₁) = 2 m/s

Rychlost kuličky 2 před srážkou (v₂) = -4 m/s

Směr míčů výtlak (směr rychlosti) je opačný, takže rychlost kuličky 1 a rychlost kuličky 2 mají opačná znaménka.

Hledá se: Rychlost po srážce (v')

Řešení:

m₁ v₁ +m₂ v₂ = (m₁ +m₂) v'

(2)(2) + (1)(-4) = (2 + 1) v'

4 – 4 = (3) v'

0 = (3) v'

v' = 0

1. Co je to věta o impulsu a hybnosti?

Odpověď: Věta o impulsu a hybnosti říká, že impuls působící na objekt se rovná změně jeho hybnosti. Matematicky řečeno, $Impulse=F\times \Delta t=\Delta p$, Kde $F$ je průměrná aplikovaná síla, $\Delta t$ je doba, po kterou je síla aplikována, a $\Delta p$ je změna hybnosti.

2. Jak se uplatňuje zákon zachování hybnosti během srážek?

Odpověď: V izolovaném systému (bez vnějších sil) je celková hybnost před srážkou rovna celkové hybnosti po srážce. To platí jak pro elastické, tak pro nepružné srážky.

3. Rozlište mezi pružnou a nepružnou srážkou.

Odpověď: Při elastické srážce se zachovává jak hybnost, tak kinetická energie. To znamená, že celková kinetická energie před srážkou se rovná celkové kinetické energii po srážce. Při nepružné srážce se sice zachovává hybnost, ale kinetická energie se nutně zachovat nemusí a část se může transformovat na jiné formy energie, jako je teplo nebo zvuk.

4. Proč skákací míč nakonec přestane odskakovat, když spadne z určité výšky?

Odpověď: Přestože míč sráží se zemí přibližně elasticky, ne veškerá jeho kinetická energie se přemění zpět na potenciální energii. Část energie se ztrácí v jiných formách, jako je teplo, zvuk a vnitřní deformace míče. V důsledku toho se s každým odrazem výška míče snižuje, až se míč nakonec zastaví.

5. Jaký je vztah mezi impulsem a změnou rychlosti?

Odpověď: Impuls je součin průměrné síly a doby, po kterou působí na objekt. Podle věty o impulsu a hybnosti se impuls rovná změně hybnosti. Pro objekt s konstantní hmotností je hybnost ($p$) je $mass(m)\times velocity(v)$Změna hybnosti se tedy promítá do změny rychlosti.

6. Je při srážce dvou aut, kdy obě auta zcela zastaví, zachována hybnost?

Odpověď: Ano, hybnost je stále zachována. Celková hybnost obou aut před srážkou by se rovnala celkové hybnosti po srážce. Protože obě auta zastaví, jejich individuální hybnost je nulová, ale jejich kombinovaná hybnost je stále stejná jako před srážkou.

7. Jak impuls vyvíjený airbagem v automobilu snižuje náraz na spolujezdce při srážce?

Odpověď: Airbag prodlužuje dobu, po kterou dochází ke zpomalení cestujícího. Prodloužením této doby se snižuje průměrná síla působící na cestujícího (v důsledku věty o impulsu a hybnosti), a tím se snižuje riziko zranění.

8. Proč sportovci provádějí „kotoule“ při dopadu z velké výšky?

Odpověď: Kutálením se při dopadu sportovec prodlužuje dobu trvání dopadu. Tato delší doba snižuje průměrnou sílu působící během dopadu, a tím snižuje riziko zranění. Jde o aplikaci teorému o impulsu a hybnosti v reálném životě.

9. Jak souvisí hybnost s třetím Newtonovým pohybovým zákonem?

Odpověď: Newtonův třetí zákon říká, že na každou akci existuje stejná a opačná reakce. Při srážkách jeden objekt působí silou na druhý a druhý objekt působí stejnou a opačnou silou na první. To znamená, že změna hybnosti (nebo impulsu), kterou zažívá jeden objekt, je stejně velká a opačného směru než změna hybnosti druhého objektu, což zajišťuje zachování hybnosti.

10. Jak ovlivňuje úhel dopadu při srážce výsledné rychlosti srážejících se objektů?

Odpověď: Úhel dopadu může určit směr výsledných rychlostí po srážce. U dvourozměrných srážek musí být zákon zachování hybnosti aplikován odděleně pro horizontální a vertikální složku. V závislosti na úhlu srážky a vlastnostech objektů to může vést k různým výsledkům, pokud jde o směr a velikost výsledných rychlostí.

1. Jaký je vztah mezi impulsem a hybností?
   • OdpověďImpuls je změna hybnosti objektu. Matematicky je impuls součin síly a času, po který působí, a rovná se změně hybnosti.
2. Jak se zákon zachování hybnosti vztahuje na srážky?
   • OdpověďV izolovaném systému (kde nepůsobí žádné vnější síly) je celková hybnost před srážkou rovna celkové hybnosti po srážce. Toto je zákon zachování hybnosti.
3. Rozlišujte mezi elastickými a neelastickými srážkami.
   • OdpověďPři elastické srážce se zachovává hybnost i kinetická energie. Při nepružné srážce se zachovává hybnost, ale kinetická energie nikoli. Dokonale nepružné srážky jsou podmnožinou, kdy objekty po srážce slepí pohromadě.
4. Proč skákací míč nakonec přestane poskakovat, když ho opakovaně upustíme?
   • OdpověďŽádná srážka není dokonale elastická kvůli faktorům, jako je odpor vzduchu a deformační energie. S každým odrazem se část kinetické energie míče přeměňuje na jiné formy, například na teplo, což vede k stále menším a menším následným odrazům, dokud se míč nezastaví.
5. Jak snižuje impuls vydávaný airbagem riziko zranění při autonehodě?
   • OdpověďAirbag prodlužuje dobu trvání nárazu. Tím snižuje průměrnou sílu působící na spolujezdce, a tím i riziko zranění.
6. Proč je snazší chytit syrové vejce pohybem ruky v jeho pohybu při chycení, než když držíte ruku nehybně?
   • OdpověďPohybem ruky s pohybem vejce prodlužujete dobu nárazu. Tím se snižuje průměrná síla působící na vejce, a tím se snižuje pravděpodobnost jeho rozbití.
7. Jak může karateista rozbít prkno nebo cihlu rukou, aniž by se zranil?
   • OdpověďKarateista používá rychlý a přesný pohyb k vyslání velkého impulsu v krátkém čase. Rychlý přenos hybnosti rozbije desku, ale ruka s ní nezůstane dostatečně dlouho v kontaktu, aby absorbovala ničivou sílu.
8. Proč je nebezpečné být v klidu uprostřed rychlostní dálnice?
   • OdpověďPokud se auto jedoucí vysokou rychlostí srazí se stojícím objektem (nebo osobou), změna hybnosti (a tedy i impulsu) nastane ve velmi krátkém čase, což vede k velmi velkým silám. Tyto velké síly mohou způsobit vážné škody.
9. Když se dva objekty srazí, proč na jeden může působit větší síla než na druhý, i když jsou jejich změny hybnosti stejné?
   • OdpověďI když je změna hybnosti (a tedy i impulsu) pro oba objekty stejná díky třetímu Newtonovu zákonu, síla, které objekt čelí, závisí na tom, jak rychle ke změně hybnosti dochází. Pokud jeden objekt má kratší dobu srážky, bude na něj působit větší síla.
10. Proč má některé sportovní vybavení, jako jsou baseballové rukavice nebo kriketové chrániče, polstrování?

• OdpověďPolstrování prodlužuje dobu, během které dochází ke kolizi (například když míč narazí na zařízení). Tím se impuls rozloží na delší dobu, čímž se sníží průměrná síla a potenciální zranění.