Příklady otázek a diskuse o binomickém rozdělení
Binomické rozdělení je jedním z nejčastěji používaných diskrétních rozdělení pravděpodobnosti. Je užitečné pro modelování počtu úspěchů v rámci řady identických, nezávislých pokusů, z nichž každý vede buď k úspěchu, nebo k neúspěchu. V tomto článku se binomickému rozdělení budeme věnovat hlouběji, a to uvedením několika příkladů a podrobným pojednáním.
Úvod do binomického rozdělení
Hlavní charakteristiky binomického rozdělení:
1. n: Počet pokusů nebo opakování.
2. p: Pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu.
3. q = 1-p : Pravděpodobnost neúspěchu v každém pokusu.
Funkce pravděpodobnosti hmotnostní binomického rozdělení je:
\[ P(X = k) = {n \zvolte k} p^k (1-p)^{nk} \]
Kde:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Náhodná proměnná představující počet úspěchů.
– \( k \): Počet požadovaných úspěchů.
Contoh Soal a Pembahasan
Začněme s několika příklady, abychom podrobněji pochopili koncept binomického rozdělení.
Příklad 1: Výběr ze skupiny studentů
Předpokládejme například, že máme skupinu 10 studentů a pravděpodobnost, že každý student bude vybrán k účasti v soutěži, je 0,3. Chceme znát pravděpodobnost, že budou vybráni přesně 4 studenti.
Krok 1: Určete parametry binomického rozdělení.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Krok 2: Pomocí binomického rozdělení vypočítejte pravděpodobnost \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \zvolte 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Výpočet \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Nyní vypočítejte \( (0.3)^4 \) a \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
jadi,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \přibližně 0.20012 \]
Pravděpodobnost, že budou vybráni přesně 4 studenti, je tedy přibližně 0.20012 neboli 20.012 %.
Příklad 2: Pravděpodobnost menší nebo rovna 2
Nyní se nás například ptají na pravděpodobnost, že bude vybráno méně než nebo rovno 2 studentům.
Krok 1: Musíme vypočítat \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) a \( P(X = 2) \).
– Pro \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \zvolte 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Pro \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \zvolte 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \zvolte 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Pro \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \zvolte 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \zvolte 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Krok 2: Sečtěte pravděpodobnosti.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Pravděpodobnost, že bude vybráno méně než nebo rovno 2 studentům, je tedy přibližně 0.7740671 neboli 77.41 %.
Příklad 3: Pravděpodobnost alespoň 8
Pokud se experiment provede 12krát a pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je 0.5, jaká je pravděpodobnost, že dojde k alespoň 8 úspěchům?
Krok 1: Nastavte binomické parametry: \( n = 12, p = 0.5 \).
Krok 2: Najděte pravděpodobnost pro \( X \geq 8 \).
To vyžaduje výpočet několika individuálních pravděpodobností a jejich sečtení:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Počítejte jeden po druhém:
– Pro \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \zvolte 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \zvolte 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Pro \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \zvolte 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \zvolte 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Pro \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \zvolte 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \zvolte 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Pro \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \zvolte 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \zvolte 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Pro \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \zvolte 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \zvolte 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Krok 3: Sečtěte všechny pravděpodobnosti.
\[ P(X √(8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \přibližně 0.1938477 \]
Pravděpodobnost, že v 12 pokusech dojde k alespoň 8 úspěchům, je tedy přibližně 0.1938477 neboli 19.38 %.
Závěr
Binomické rozdělení je základní koncept ve statistice, který je klíčový v mnoha praktických aplikacích. Pochopením toho, jak vypočítat pravděpodobnosti pro různé případy binomického rozdělení, jak je ukázáno ve výše uvedených příkladech, můžeme tento koncept aplikovat v reálných situacích. Toto cvičení také posiluje naše chápání fungování pravděpodobnostních struktur v jasném a uspořádaném kontextu.
