Articulu nantu à l'equazione di Poiseuilles
L'equazione di Poiseuille hè stata scuperta da Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Cum'è spiegatu, ogni fluidu pò esse cunsideratu cum'è un fluidu ideale. U fluidu ideale ùn hà micca viscosità. Sè supponemu chì un fluidu ideale scorri in un tubu, ogni parte di u fluidu si move à a listessa velocità (v). À u cuntrariu di u fluidu ideale, u fluidu reale chì scuntremu in a vita di tutti i ghjorni hà viscosità. Perchè hà una viscosità, allora quandu scorri in un tubu, per esempiu, a velocità di ogni parte di u fluidu varia. U stratu di fluidu chì hè in u mezu si move più velocemente (v prufonda), à u cuntrariu, u stratu di fluidu attaccatu à u tubu ùn si move micca (v = 0). Cusì da u mezu à u bordu di u tubu, ogni parte di u fluidu si move à velocità diverse. Per facilità a vostra capiscitura, osservate l'imagine quì sottu.
R = u raghju di u tubu/pipa
v 1 = portata di fluidu in u mezu / asse di u tubu
v 2 = portata di fluidu chì hè r 2 da u bordu di u tubu
v 3 = portata di fluidu r 3 da u bordu di u tubu
v 4 = portata di fluidu r 4 da u bordu di u tubu
r = distanza
Per chì a velocità di flussu di ogni parte di u fluidu sia a stessa, ci vole à esse una differenza di pressione à ogni estremità di u tubu o di qualsiasi tubu attraversu u quale passa u fluidu. Ciò chì si intende per fluidu quì hè un fluidu reale, per esempiu, acqua o oliu chì scorre per un tubu, sangue chì scorre in un vasu sanguignu, ecc. In più di aiutà un fluidu reale à scorrere senza intoppi, a differenza di pressione pò ancu fà scorrere i fluidi in tubi di diverse altezze.
Jean Louis Marie Poiseuille, un anzianu scientistu francese chì s'interessava à l'aspetti fisichi di a circulazione di u sangue umanu, hà fattu ricerche per investigà cumu i fattori, cum'è e differenze di pressione, l'area trasversale di i tubi è a dimensione di i tubi influenzanu a velocità reale di u fluidu. I risultati ottenuti da Jean Louis Marie Poiseuille, cunnisciuti cum'è l'equazione di Poiseuille.
L'equazione di Poiseuille pò esse derivata cù l'aiutu di una equazione di u cuefficiente di viscosità chì hè stata calculata prima. Usemu l'equazione di viscosità perchè i casi sò simili, ancu s'elli ùn sò micca listessi. Quandu derivemu l'equazione di u cuefficiente di viscosità, rivedemu u flussu di u stratu di fluidu reale trà 2 piastre parallele, è u fluidu pò spustassi per via di l'attrazione (F). A differenza hè chì l'equazione di Poiseuille chì deriveremu indica i fattori chì influenzanu u flussu di fluidu reale in u tubu/tubu è u fluidu chì scorre per via di a differenza di pressione. Dunque, l'equazione di u cuefficiente di viscosità deve esse aghjustata di novu.
U fluidu pò scorrere per via di una differenza di pressione (u fluidu scorre da un locu di alta pressione à un locu induve a pressione hè bassa), allora rimpiazzemu F cù p1 - p2 ( p1 > p2 ).
Quandu si deriveghja l'equazione di u coefficientu di viscosità, si rivede u flussu di u stratu di fluidu reale trà 2 piastre parallele. Ogni parte di u fluidu cambia a so velocità regulare finu à l. In questu casu, a velocità di u fluidu cambia regularmente da l'asse di u tubu à u bordu di u tubu. U fluidu in l'asse di u tubu scorri à una velocità più grande (v). Più hè grande u bordu, più chjuca hè a velocità di u fluidu. Raghju di u tubu = distanza trà l'asse di u tubu è u bordu di u tubu = R. A distanza trà ogni parte di u fluidu è u bordu di u tubu = r. Siccomu a quantità di ogni parte di u fluidu hè enorme è a distanza da u bordu di u tubu hè ancu diversa, allora scrivemu cusì:
v 1 = a velocità di u fluidu chì hè à a distanza r 1 da u bordu di u tubu (r 1 = R)
v² = a velocità di u fluidu chì hè à una distanza r² da u bordu di u tubu ( r² < r¹ )
v 3 = a velocità di u fluidu à a distanza r 3 da u bordu di u tubu (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = a velocità di u fluidu chì hè à distanza r 4 da u bordu di u tubu (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
……………………………………… ..
v n = a velocità di u fluidu à a distanza rn da u bordu di u tubu (rn <…… < r4 < r3 < r2 < r1 )
A quantità di ogni parte di u fluidu hè enorme, è ùn sapemu micca esattamente quanta hè in realtà, dunque basta à scrive cù u simbulu n. Ogni parte di u fluidu cambia a velocità (v) regularmente, da l'asse di u tubu (r1 = R) à u bordu di u tubu (rn). Da l'asse di u tubu (r1 = R) à u bordu di u tubu (rn), a velocità di ogni parte di u fluidu hè più chjuca (v1 > v2 > v3 > v4 > ... > vn ).
Da a spiegazione sopra, pudemu avè una figura chì da R à rn, a velocità di u fluidu diminuisce. Lunghezza di u tubu = L. Equazione ottenuta:
Siccomu ciò chì stemu rivedendu hè a velocità di u flussu di fluidu, allora l'equazione 2 diventa:
Questa hè l'equazione di a velocità di u flussu di u fluidu à a distanza r da u tubu cù un raghju di R. Sè site cunfusu mentre fighjate l'imagine sopra... Per piacè nutate chì u fluidu scorri in un tubu, dunque ci vole à rivedere a velocità di flussu di u vulume di fluidu.
Dentru à u tubu, ci hè un fluidu. Per esempiu, dividimu u fluidu in e piccule parte, induve ogni parte hà una superficia unitaria di dA, spaziata da l'asse di u tubu è hà una velocità di flussu v. Matematicamente pò esse scrittu cusì:
dA 1 = parte fluida 1, chì hè una distanza di dr 1 da l'asse di u tubu
dA 2 = parte fluida 2, chì hè una distanza di dr 2 da l'asse di u tubu
dA 3 = parte fluida 3, chì hè una distanza di dr 3 da l'asse di u tubu
………………………………….
dAn = parte fluida n, chì hè una distanza di dn da l'asse di u tubu
A parte di u fluidu hè assai numerosa, dunque hè scritta cù u simbulu n, dunque hè più praticu. U flussu di volume di ogni parte di u fluidu pò esse scrittu matematicamente cusì:
Ogni parte di fluidu hè à una distanza da r = 0 à r = R (R = raghju di u tubu). In altre parolle, a distanza di ogni parte di u fluidu varieghja quandu hè misurata da l'asse di u tubu. Utteneremu l'equazione di u flussu di volume di u fluidu in u tubu:
Q = Scaricu, R = raghju di un tubu, η = coefficiente di viscosità, P 1 – p 2 = Differenza di pressione trà e duie estremità di u tubu, L = lunghezza di u tubu, p 1 -p 2 / L = Gradiente di pressione (u flussu di fluidu hè sempre in a direzzione di a caduta di pressione)
Basatu annantu à l'equazione di Poiseuille sopra, pare chì a velocità di flussu di u vulume di fluidu (Q) hè proporzionale à u raghju di u tubu (R 4 ), u gradiente di pressione (p 2 - p 1 / L) è inversamente proporzionale à a viscosità. Sè si aghjusta u raghju di u tubu (coefficiente di viscosità è gradiente di pressione fissu), allora a velocità di flussu di fluidu aumenta di un fattore di 16.
In u cuncettu basicu di cuncepimentu di tubi, aduprate sta equazione. U scaricu di fluidu hè proporzionale à R 4 (R = raghju di u tubu). U raghju di a siringa o di i diti di u tubu deve esse calculatu cù cura. Per esempiu, se duppiemu u raghju di l'agulla (rx 2), u scaricu di liquidu chì hè spruzzatu = aumenta a forza di cumpressione di u pollice 16 volte.
L'equazione di Poiseuille mostra ancu chì u raghju (r4 ) hè inversamente proporzionale à a differenza di pressione trà e duie estremità di u tubu. Per esempiu, u sangue scorre prima in un vasu sanguignu chì hà un raghju internu di r. S'ellu ci hè un restringimentu di l'arterie (per esempiu, r/2 = u raghju di i vasi sanguigni hè riduttu duie volte),
tandu hè necessaria una diffarenza di pressione di 16 volte per fà scorrere u sangue cum'è prima (in modu chì a velocità di u flussu sia custante).
