I vettori ùn sò micca numeri ordinari, dunque a multiplicazione ordinaria ùn pò esse applicata direttamente à elli. Duvemu aduprà a multiplicazione vettoriale. Ci sò dui tipi di multiplicazione vettoriale: a multiplicazione per punti è a multiplicazione incrociata. A multiplicazione per punti hè ancu chjamata multiplicazione scalare perchè produce una quantità scalare. A multiplicazione incrociata hè ancu chjamata multiplicazione vettoriale perchè produce una quantità vettoriale. Per esempiu, ci sò dui vettori, vale à dì A Cristescu BMultiplicazione scalare di vettori A Cristescu B dichjaratu cù AB KSiccomu l'arena usa a nutazione di punti, sta multiplicazione hè chjamata pruduttu scalareMoltiplicazione vettoriale di A Cristescu B dichjaratu cù A x BPerchè usa a nutazione x, tandu sta multiplicazione hè chjamata multiplicazione incrociata.
Per esempiu, datu u vettore A Cristescu B cum'è mostratu in l'imagine quì sottu. U pruduttu scalare trà i vettori A Cristescu B scrittu cum'è AB (A puntu B).
Per definisce u pruduttu scalare di vettori A Cristescu B (AB), vettore rapprisintatu A è vettori B ychì forma un angulu θ. Dopu tracciamu a pruiezione di u vettore B versu a direzzione di u vettore AQuesta pruiezione hè una cumpunente di u vettore B chì hè parallelu à u vettore A, chì hè di listessa taglia chè B cos θ.
Cusì, definimu AB cum'è un grande vettore A multiplicatu per i cumpunenti vettoriali B chì hè parallelu à AMatematicamente pudemu scrive cusì:
AB cos θ hè un numeru ordinariu (scalare). Dunque, u pruduttu scalare hè ancu chjamatu pruduttu scalare. Chì succede se u pruduttu scalare trà i vettori A Cristescu B invertitu à BA prima di definisce BA, prima tracciamu a pruiezione di u vettore A à i vettori B (vede l'imagine quì sottu).
Basenduci nantu à sta maghjina, pudemu definisce BA cum'è un grande vettore B multiplicatu per i cumpunenti vettoriali A chì hè parallelu à BMatematicamente pudemu scrive cusì:
Risultatu di u pruduttu scalare AB = AB cos θ è u risultatu di u pruduttu scalare BA = BA cos θ. Perchè AB cos θ = BA cos θ, tandu s'applica AB = BA
Alcune cose nantu à a multiplicazione di punti chì avete bisognu di sapè:
1. U pruduttu scalare suddisfa a lege cummutativa.
AB = BA
2. U pruduttu scalare soddisfa a lege distributiva.
A. (B + C) = AB + AC
3. Sè u vettore A Cristescu B perpendiculari l'unu à l'altru, tandu u risultatu di u pruduttu scalare AB = 0
Quandu u vettore A Cristescu B perpendiculari l'unu à l'altru, tandu l'angulu furmatu hè 90oCos 90o = 0. Cusì: AB = AB cos tit = AB cos 90o = 0. Da l'altra parte, BA = BA cos tit = BA cos 90o = 0
4. Sè u vettore A è vettori B una manera, maca AB = AB cos 0o = AB
Quandu u vettore A Cristescu B in a listessa direzzione, tandu l'angulu furmatu hè 0o. Cos 0 = 1. Cusì, AB = AB cos tit = AB cos 0o = ABÀ u cuntrariu BA = BA cos tit = BA cos 0o = BA
(Ùn si deve micca cunfonde cù AB Cristescu BAGrande AB = grande BAPer esempiu, a magnitudine di u vettore A = 2. magnitudine di u vettore B = 3. tandu AB = 2.3 = 6; questu hè listessu chè BA = 3.2 = 6.
5. Un'altra cundizione per chì dui vettori sianu in a listessa direzzione, se A = B tandu ottenutu AA = A2 o BB = B2
6. Sè u vettore A Cristescu B direzzione opposta (quandu dui vettori sò in direzzioni opposte tandu l'angulu furmatu hè 180º), tandu u risultatu di a multiplicazione AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Esempiu di prublemi:
Un vettore A hà una magnitudine di 4 unità è hè un vettore B hà 3 unità. Determinate u pruduttu scalare di i dui vettori se l'anguli furmati da i dui vettori sò 60º, 90º è 180º.o
Discussione
Karena AB = BA tandu pudemu sceglie di aduprà unu. Per esempiu, usemu AB
AB = AB cos tit
Grande A = 4 unità è grande B = 3 unità.
