Esempiu di prublemi chì discutenu i vettori inversi
Un vettore hè un ughjettu matematicu chì hà sia magnitudine sia direzzione. In u studiu di i vettori, spessu scuntremu vettori cù proprietà specifiche. Un cuncettu fundamentale in i vettori hè u vettore inversu, o vettore negativu. Questu articulu coprirà esempi è una discussione di i vettori inversi.
Capiscendu i Vettori Inversi
U vettore inversu, spessu chjamatu vettore negativu, hè un vettore chì hà a stessa magnitudine ma a direzzione opposta à u vettore originale. Sè un vettore hè indicatu da \(\vec{a}\), tandu u so vettore inversu hè \(-\vec{a}\). Matematicamente, sè \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), tandu \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Esempiu di dumanda 1
Datu u vettore \(\vec{a} = (3, 4, -2)\). Determinate u vettore inversu di \(\vec{a}\).
Discussione:
Per determinà u vettore inversu di \(\vec{a}\), basta à cambià ognuna di e so cumpunenti vettoriali in negativa:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Cusì, u vettore inversu di \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) hè \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
Esempiu di dumanda 2
Sia u vettore \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). Truvate u vettore inversu di \(\vec{b}\) è verificate chì \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Discussione:
Prima, definimu u vettore inversu di \(\vec{b}\):
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Dopu, verificemu chì l'addizione di u vettore \(\vec{b}\) è di u so vettore inversu dà cum'è risultatu u vettore zero:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Aghjunghjemu i cumpunenti di u vettore:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Cusì, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), hè pruvatu chì u risultatu di l'addizione di u vettore \(\vec{b}\) è u so vettore inversu hè u vettore nullu.
Esempiu di dumanda 3
Dati i vettori \(\vec{u} = (2, -1)\) è \(\vec{v} = (-2, 1)\). \(\vec{u}\) hè u vettore inversu di \(\vec{v}\) ?
Discussione:
Per determinà se \(\vec{u}\) è \(\vec{v}\) sò vettori inversi, ci vole à verificà se \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Calculà \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Si scopre chì \(-\vec{u} = \vec{v}\), questu significa chì u vettore \(\vec{u}\) hè in effetti u vettore inversu di u vettore \(\vec{v}\).
Esempiu di dumanda 4
Sè u vettore \(\vec{w}\) hè cunnisciutu per avè una magnitudine di 5 è una direzzione opposta à u vettore \(\vec{p} = (4, 3)\), determinate \(\vec{w}\) in forma di cumpunenti.
Discussione:
Prima, truvemu a magnitudine di u vettore \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Siccomu \(\vec{w}\) hà a listessa magnitudine chè \(\vec{p}\) ma a direzzione opposta, tandu:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Cusì, u vettore \(\vec{w}\) in forma di cumpunenti hè \(\vec{w} = (-4, -3)\).
Esempiu di dumanda 5
Dati u puntu A(2, 3) è u puntu B(4, 7). Determinate u vettore di pusizione da u puntu A à u puntu B è u vettore chì hè l'oppostu di quellu vettore.
Discussione:
Vettore di pusizione da u puntu A à u puntu B:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
U vettore inversu di \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Cusì, u vettore chì hè inversu à u vettore di pusizione \(\vec{AB} = (2, 4)\) hè \(-\vec{AB} = (-2, -4)\).
Esempiu di dumanda 6
Datu un vettore \(\vec{m} = (x, y)\) è u vettore inversu di \(\vec{m}\) hè \( (-5, 12)\). Determinate i valori di x è y.
Discussione:
U vettore inversu di \(\vec{m}\) hè \( (-x, -y) \), è secondu u prublema, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Abbinendu i cumpunenti vettoriali, ottenemu:
\[
-x = -5 \implica x = 5
\]
\[
-y = 12 \implica y = -12
\]
Cusì, u valore di \(x\) hè 5 è u valore di \(y\) hè -12.
Cunclusioni
I vettori inversi sò vettori cù a listessa magnitudine ma di direzzione opposta. Capendu u cuncettu di vettori inversi, pudemu risolve diversi prublemi ligati à i vettori, cum'è determinà u negativu di un vettore, verificà l'addizione di vettori à zeru, ecc. A discussione di l'esempii di prublemi sopra hè prevista per aumentà a nostra cunniscenza è capiscitura di u travagliu cù vettori inversi.
