Esempiu di una quistione di discussione nantu à u coefficientu di determinazione
U cuefficiente di determinazione (R²) hè un parametru impurtante in l'analisi di regressione, chì indica quantu bè un mudellu di regressione spiega a variabilità reale di i dati. In questu articulu, spiegheremu u cuncettu di u cuefficiente di determinazione per mezu di un esempiu dettagliatu è una discussione.
Cuncettu Basicu di Coefficiente di Determinazione
U coefficientu di determinazione o \(R^2\) hè misuratu nantu à una scala da 0 à 1, induve:
– \(R^2 = 0 \) indica chì u mudellu di regressione ùn hè micca capace di spiegà a variabilità di i dati.
– \(R^2 = 1 \) mostra chì u mudellu di regressione hè capace di spiegà perfettamente tutta a variabilità di i dati.
A formula basica per calculà u coefficientu di determinazione hè:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Induve:
– SSR (Somma di i Residui Quadrati) hè a somma di i quadrati di e differenze trà i valori previsti da u mudellu è i valori attuali.
– SST (Summa Tutale di i Quadrati) hè u tutale di a somma di i quadrati di e differenze trà u valore attuale è a media di i valori attuali.
Esempiu di prublemi
Discuteremu un esempiu di prublema per capisce u calculu di u coefficientu di determinazione in più prufundità.
Esempiu di prublemi:
Supponemu chì avemu dati nantu à u numeru d'ore di studiu (X) è i punteggi d'esame (Y) di 10 studienti:
| Studienti | Ore di Studiu (X) | Puntuazione di l'Esame (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Creeremu un mudellu di regressione lineare simplice induve i punteggi d'esame (Y) sò previsti in basa à l'ore di studiu (X).
Discussione
1. Custruisce un mudellu di regressione lineare simplice
Un mudellu di regressione lineare simplice hà a forma:
\[ Y = a + bX \]
Induve:
– \(Y \) hè u puntuatu previstu di a prova.
– \(X \) hè u numeru d'ore di studiu.
– \(a \) hè l'intercetta (u puntu d'intersezione nantu à l'asse Y quandu X = 0).
– \(b \) hè a pendenza (inclinazione di a linea di regressione).
Per calculà i parametri \(a\) è \(b\), usemu a formula seguente:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Induve \(n\) hè u numeru di dati (in questu casu n = 10).
Da a tavula pudemu calculà:
– (\sum{X} = 36\)
– (\sum{Y} = 704)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Calculemu prima b:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Dopu, calculemu un:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Cusì, u mudellu di regressione lineare chì ottenemu hè:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Calcula u valore previstu (Y')
Dopu, calculemu u valore previstu \(Y' \) per ogni \(X \):
| Studienti | Ore di Studiu (X) | Puntuazione di l'Esame (Y) | Puntuazione Prevista (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \(56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \(56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \(56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \(56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
3. Calculu di SSR è SST
Dopu, calculemu SSR è SST per ottene \(R^2 \).
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Induve:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Calculu di u Coefficiente di Determinazione \(R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Cunclusioni
Da u calculu sopra, avemu ottenutu un coefficientu di determinazione (R2 = 0.59). Questu indica chì u mudellu di regressione lineare chì avemu creatu pò spiegà circa u 59% di a variabilità di i punteggi di l'esame basatu annantu à l'ore di studiu. U restante 41% di a variabilità puderia esse duvutu à altri fattori micca inclusi in u mudellu.
Capendu i passi è i calculi sopra, pudemu vede l'impurtanza di u cuefficiente di determinazione per valutà cumu u mudellu di regressione chì custruemu spiega bè a variabilità attuale di i dati. Hè un strumentu assai utile in l'analisi statistica è a modellistica di dati.
