Variància i desviació estàndard de dades individuals
L'estadística és la ciència que estudia la recopilació, l'anàlisi, la interpretació, la presentació i l'organització de dades. Un aspecte important de l'estadística és com mesurem i entenem la variabilitat de les dades. Dues mesures crucials de la variabilitat són la variància i la desviació estàndard. Aquest article tractarà la variància i la desviació estàndard en profunditat, centrant-se en un sol conjunt de dades, explicant les definicions, les fórmules, els passos de càlcul i proporcionant exemples pràctics per aclarir els conceptes.
Definició de variància i desviació estàndard
Varian
La variància és una mesura de com de lluny es troben les dades de la mitjana. Proporciona una visió general de la diversitat o variació en un conjunt de dades. En termes matemàtics, la variància és la mitjana dels quadrats de les desviacions de cada element de dades respecte a la seva mitjana.
desviació estàndard
La desviació estàndard, també coneguda com a desviació estàndard, és l'arrel quadrada de la variància. Proporciona informació sobre la distribució de les dades en les mateixes unitats que les dades originals, cosa que facilita la seva interpretació en contextos de la vida real.
Fórmules i càlculs
Varian
Per calcular la variància (σ^2) d'un únic conjunt de dades de mida n, podem utilitzar la fórmula següent:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
On:
– \(x_i \) és el i-èssim valor de les dades.
– \( \bar{x} \) és la mitjana o la puntuació mitjana de les dades.
– n és el nombre de dades del conjunt.
– (x_i – \bar{x})^2 és el quadrat de la diferència entre cada dada i la seva mitjana.
desviació estàndard
La desviació estàndard (σ) és l'arrel quadrada de la variància, per tant la fórmula és:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Passos de càlcul
Pas 1: Calcula la mitjana de les dades (mitjana)
El primer pas és calcular la mitjana (mitjana) del conjunt de dades. La mitjana es calcula sumant tots els valors de les dades i dividint-ho pel nombre de valors de les dades.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Pas 2: Calcula la diferència de cada conjunt de dades respecte a la mitjana
Després d'obtenir la mitjana, el següent pas és calcular la diferència entre cada valor de dades i la mitjana (desviació).
\[ d_i = x_i – \bar{x} \]
Pas 3: Elevar al quadrat cada desviació
A continuació, eleva al quadrat cada desviació.
\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
Pas 4: Suma de totes les desviacions al quadrat
Suma tots els resultats al quadrat del pas anterior.
\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Pas 5: Calcular la variància
Dividiu la suma dels quadrats de les desviacions pel nombre de dades (n) per obtenir la variància.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
Pas 6: Calcula la desviació estàndard
Finalment, calculeu la desviació estàndard fent l'arrel quadrada de la variància.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Exemple de càlcul
Per aclarir el concepte de càlcul de la variància i la desviació estàndard, vegem l'exemple següent. Suposem que tenim el següent conjunt de dades: 4, 8, 6, 5, 3.
Pas 1: Calcula la mitjana de les dades
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Pas 2: Calcula la diferència de cada conjunt de dades respecte a la mitjana
La diferència entre el valor de cada dada i la mitjana:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
Pas 3: Elevar al quadrat cada desviació
El quadrat de cada desviació:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
Pas 4: Suma de totes les desviacions al quadrat
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Pas 5: Calcular la variància
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
Pas 6: Calcula la desviació estàndard
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \aprox 1.72 \]
Així doncs, en aquest exemple, la variància de les dades és de 2.96 i la desviació estàndard és d'aproximadament 1.72.
Interpretació
La variància i la desviació estàndard proporcionen informació important sobre la dispersió de les dades. A l'exemple anterior, una variància de 2.96 indica que la desviació quadràtica mitjana dels valors de les dades respecte a la mitjana és de 2.96. Una desviació estàndard d'1.72 indica que, de mitjana, els valors de les dades es desvien en 1.72 unitats respecte a la mitjana.
La desviació estàndard és més fàcil d'interpretar perquè té les mateixes unitats que les dades originals. Per exemple, en el context de les estadístiques d'ingressos, si les dades tenen una desviació estàndard de 500 $, significa que els ingressos mitjans es desvien en 500 $ dels ingressos mitjans.
Aplicació a la vida quotidiana
La comprensió de la variància i la desviació estàndard es pot aplicar en diversos camps. En finances, la desviació estàndard es pot utilitzar per mesurar el risc d'inversió. En educació, es pot utilitzar per avaluar la variació en les puntuacions de les proves entre estudiants. En la indústria manufacturera, pot ajudar en el control de qualitat mesurant la variació de la producció.
Conclusió
La variància i la desviació estàndard són dues eines estadístiques crucials per comprendre la variabilitat d'un conjunt de dades. Calculant la variància, podem determinar com de disperses estan les dades. La desviació estàndard, que és l'arrel quadrada de la variància, ofereix una interpretació més intuïtiva i es mesura en les mateixes unitats que les dades originals. En comprendre i ser capaços de calcular aquestes dues mesures, podem analitzar millor les dades i prendre decisions més informades.
