Prova de Kruskal-Wallis en estadística
La prova de Kruskal Wallis és un mètode estadístic no paramètric que s'utilitza per comparar diferències entre tres o més grups. En molts estudis, els investigadors sovint volen determinar si diversos grups tenen valors significativament diferents per a una variable concreta. Si les dades compleixen els supòsits de normalitat i homogeneïtat de la variància, la prova ANOVA unidireccional sol ser la primera opció. Tanmateix, quan no es compleixen aquests supòsits (per exemple, si les dades no tenen una distribució normal, hi ha valors atípics extrems o l'escala de mesura és ordinal), la prova de Kruskal Wallis és una alternativa potent i àmpliament utilitzada.
Definició i conceptes bàsics
La prova de Kruskal-Wallis (sovint escrita com a prova H de Kruskal-Wallis) és una extensió de la prova U de Mann-Whitney, que l'estén a més de dos grups. El seu principi bàsic és comparar els "rangs" de les dades, no els valors reals. Com que es basa en rangs, aquesta prova no requereix una distribució normal i és relativament resistent a la influència dels valors atípics.
Intuïtivament, si diversos grups tenen la mateixa distribució, els rangs de dades entre els grups es barrejaran aleatòriament. Per contra, si alguns grups tendeixen a tenir valors més alts o més baixos, els rangs s'agruparan i produiran una estadística de prova més gran.
Quan s'utilitza la prova de Kruskal-Wallis?
La prova de Kruskal-Wallis s'utilitza quan:
1. El nombre de grups és ≥ 3 i l'investigador vol comparar les diferències en la ubicació central (normalment la mediana) entre els grups.
2. Les dades no compleixen els supòsits de l'ANOVA, especialment la normalitat dels residuals.
3. Escales de dades ordinals (per exemple, puntuacions de satisfacció: de molt insatisfet a molt satisfet) o dades d'intervals/ràtios no normals.
4. Mostres independents, és a dir, que els membres d'un grup no estan aparellats ni relacionats amb altres grups.
Cas pràctic: un investigador vol comparar els nivells de satisfacció dels pacients amb els serveis de tres hospitals diferents utilitzant una escala de Likert d'1 a 5. Com que les dades són ordinals, la de Kruskal Wallis és una elecció adequada.
Supòsits de la prova de Kruskal-Wallis
Tot i que no és paramètric, el Kruskal Wallis encara té diverses suposicions importants:
1. Independència de l'observació: les dades de cada grup han de provenir d'individus diferents.
2. La variable de resposta ha de ser com a mínim ordinal: les dades han de ser ordenables.
3. Les formes de distribució entre grups han de ser similars: si les formes de distribució són molt diferents, la interpretació de les diferències pot ser més complexa. Aquesta prova sovint s'interpreta com una diferència en les medianes, però la interpretació de la mediana és més adequada si les formes de distribució són similars.
Hipòtesi en la prova de Kruskal-Wallis
En la prova de Kruskal-Wallis, la hipòtesi que es prova és:
– H0 (hipòtesi nul·la): la distribució (o mediana) de tots els grups és la mateixa.
– H1 (hipòtesi alternativa): hi ha com a mínim un grup la distribució (o mediana) del qual és diferent.
Cal destacar que quan es rebutja H0, la prova de Kruskal-Wallis simplement afirma que "hi ha una diferència", però no especifica quins grups són diferents. Això requereix proves addicionals (post-hoc).
Passos de càlcul
En resum, els passos de la prova de Kruskal Wallis són:
1. Combina totes les dades de tots els grups.
2. Classifiqueu del valor més petit al més gran. Si hi ha empats, utilitzeu la classificació mitjana.
3. Suma les classificacions de cada grup.
4. Calcula l'estadístic de prova H.
La fórmula estadística general d'H és:
\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} – 3(N+1)
\]
Informació:
– \(N\) = total de totes les observacions
– \(k\) = nombre de grups
– \(n_i\) = nombre d'observacions en el grup i-èsim
– \(R_i\) = nombre de rangs del grup i-èsim
El valor H es compara amb la distribució khi quadrat (\(\chi^2\)) amb \(k-1\) graus de llibertat. Si el valor p és menor que el nivell de significació (per exemple, 0,05), aleshores es rebutja H0.
Exemple il·lustratiu
Suposem que un professor vol saber si hi ha una diferència en les puntuacions de les proves estadístiques entre tres mètodes d'aprenentatge: A, B i C. Després de recollir les dades, resulta que les puntuacions no tenen una distribució normal perquè hi ha diversos valors extrems. Aleshores, el professor utilitza la prova de Kruskal-Wallis.
Si els resultats de la prova mostren un valor p de 0,01 (inferior a 0,05), es conclou que hi ha una diferència significativa entre almenys dos mètodes d'aprenentatge. Tanmateix, el professor encara no sap si el mètode A és millor que el B o el C. Aquí és on cal una anàlisi post-hoc.
Prova post-hoc després de Kruskal Wallis
Si la prova de Kruskal-Wallis és significativa, el següent pas és realitzar comparacions per parells. Alguns mètodes habituals són:
1. Prova de Dunn: s'utilitza més sovint per a la prova de Kruskal Wallis post-hoc.
2. Mann-Whitney per parells amb correcció (Bonferroni, Holm o Benjamini-Hochberg) per controlar els errors deguts a proves repetides.
L'objectiu d'aquesta correcció és evitar un augment de la possibilitat d'error de tipus I (indicar una diferència quan no n'hi ha) a causa de fer moltes comparacions.
Mida de l'efecte
A més de la significació, molts estudis moderns emfatitzen les mides d'efecte per ajudar els lectors a comprendre la magnitud de la diferència. Algunes mides d'efecte que sovint s'associen amb el model de Kruskal-Wallis inclouen:
– Eta quadrat basat en H (η²):
\[
\eta^2 = \frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– Epsilon quadrat (ε²) com a alternativa més conservadora.
Les mides de l'efecte ajuden a interpretar si la diferència és petita, mitjana o gran, no només "significativa o no".
Avantatges i limitacions
Excés
1. No requereix la suposició de normalitat.
2. Apte per a dades ordinals.
3. Més robust contra valors atípics que els mètodes paramètrics.
Limitacions
1. No mostra quins grups són diferents sense anàlisi a posteriori.
2. La interpretació com a diferència de medianes és més vàlida si la forma de distribució dels grups és similar.
3. Si les dades reals són normals i homogènies, l'ANOVA pot ser més potent (major potència).
Tancament
La prova de Kruskal-Wallis és una eina important en estadística inferencial, especialment quan els investigadors tracten amb dades que no compleixen els supòsits dels mètodes paramètrics. Amb el seu enfocament basat en rangs, aquesta prova permet comparacions més flexibles de tres o més grups, especialment per a dades ordinals o no normals. Tanmateix, el seu ús encara requereix una comprensió dels supòsits, la interpretació dels resultats i la necessitat d'anàlisis post-hoc per identificar parells de grups realment diferents. Combinant valors p, mides d'efecte i anàlisis addicionals apropiades, la prova de Kruskal-Wallis pot proporcionar conclusions robustes i rellevants en una varietat de camps de recerca, des de la salut i l'educació fins als negocis i les ciències socials.
