1. Dues masses m1 = 2 kg i m2 = 5 kg es troben en un pla inclinat i estan connectades entre si per una corda tal com es mostra a la figura. El coeficient de fricció cinètica entre m1 i el pla inclinat és de 0.2 i el coeficient de fricció cinètica entre m2 i el pla inclinat és de 0.1.
(a) Determineu la seva acceleració
(b) Determineu la força de tensió
Conegut:
Massa 1 (m1 ) = 2 kg
Massa 2 (m2 ) = 4 kg
Coeficient de fricció cinètica entre m1 i el pla inclinat (μk1 ) = 0.2
Coeficient de fricció cinètica entre m² i el pla inclinat (μ k² ) = 0.1
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 9.8 m/ s²
a) La magnitud i la direcció de l'acceleració
w 1 = pes 1 = m 1 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 Newtons
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newtons
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newtons
N 1 = La força normal sobre m 1 = w 1y = 17 Newtons
F k1 = La força de la fricció cinètica sobre m 1 = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 Newtons
---
w² = pes² = m² g = (4 kg)(9.8 m/s² ) = 39.2 Newtons
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newtons
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newtons
N₂ = La força normal sobre m₂ = w₂y = 19.6 Newtons
F k2 = La força de la fricció cinètica sobre m 2 = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newtons
---
La magnitud de l'acceleració:
∑ Fx = max
w 2x > w 1x , de manera que la direcció de l'acceleració és la mateixa que la direcció de w 2x.
Les forces que apunten al llarg de l'acceleració són positives i les forces que tenen direcció oposada a l'acceleració són negatives.
w2x - Fk2 - T2 +T1 - w1x - Fk1 = (m1 +m2) Lax
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = ( m1 + m2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
a x = 3.16 m/ s²
Magnitud de l'acceleració = 3.16 m/s² . Direcció de l'acceleració = direcció de T₁ = direcció de w²x
b) Magnitud de la força de tensió
Aplica la segona llei de Newton a l'objecte 2:
w 2x – F k2 – T 2 = m2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
32.14 N – T2 = 12.64 N
T2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newtons
La força de tensió = T = T1 = T2 = 19.5 Newtons
[irp]
2. m1 = 4 kg, m2 = 2 kg. Determineu (a) la magnitud i la direcció de l'acceleració (b) la magnitud de la força de tensió que connecta m1 i m2 ( c) la magnitud de la força de tensió que connecta la politja i el sostre.
Solució
w 1 = m 1 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 Newtons
w² = m² g = (2 kg)(9.8 m/s² ) = 19.6 Newtons
a) Magnitud i direcció de l'acceleració
∑ F y = ma y
w 1 > w 2, de manera que la direcció de l'objecte és la mateixa que la direcció del pes 1 ( w 1 ) . Les forces que tenen la mateixa direcció que l'acceleració són positives i les forces que tenen la direcció oposada amb l'acceleració són negatives.
w1 – T1 + T2 – w2 = ( m1 + m2 ) ay
w1 – w2 = ( m1 + m2 ) ay
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a y
19.6 N = (6 kg) a i
y = 19.6 N : 6 kg
y = 3.26 m/ s²
Magnitud de l'acceleració = 3.26 m/s² . Direcció de l'acceleració = direcció de w₁.
b) Magnitud de la força de tensió que connecta m1 i m2
Aplica la segona llei de Newton a m² :
∑ F y = ma y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T1 = 13.04 N
T1 = 39.2 N – 13.04 N
T1 = 26.16 Newtons
Magnitud de la força de tensió que connecta els objectes = T = T1 = T2 = 26.16 Newtons
c) Magnitud de la força de tensió que connecta la politja i el sostre.
La politja està en repòs:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
Les forces ascendents són positives, les forces descendents són negatives:
T3 – T1 – T2 = 0
T3 = T1 + T2
T1 i T2 tenen la mateixa magnitud , T1 = T2 = T = 26.16 N :
T3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newtons
[irp]
3. Bloc 1 (m1 = 10 kg) i bloc 2 (m2 = 15 kg) connectats per una corda sobre una politja sense fricció. Coeficient de fricció estàtica entre el bloc 2 amb la inclinació = 0.6. El coeficient de fricció cinètica entre el bloc 2 amb la inclinació = 0.42. Determineu (a) La magnitud de la força mínima F exercida sobre els objectes de manera que els objectes acceleren cap amunt (b) Determineu la magnitud de la força de tensió.
Solució
w² = El pes del bloc² = m² g = (10 kg)(9.8 m/s² ) = 98 Newtons
w² = El pes del bloc² = m² g = (15 kg)(9.8 m/s² ) = 147 Newtons
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newtons
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newtons
N₂ = La força normal sobre el bloc 2 = w₂y = 127.89 Newtons
F k2 = La força de fricció cinètica sobre el bloc 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newtons
F s2 = La força de fricció estàtica sobre el bloc 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newtons
a) La magnitud de la força mínima F exercida sobre els objectes de manera que els objectes acceleren cap amunt
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ Fx = 0
Les forces ascendents i les forces cap a la dreta són positives, les forces descendents i les forces cap a l'esquerra són negatives.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 Newtons
b) La magnitud de la força de tensió
Aplica la llei del moviment de Newton al bloc 1:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
T1 – w1 = 0
T 1 = w 1 = 98 Newtons
Aplica la llei del moviment de Newton al bloc 2:
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T₂ = F – F₂k₂ – w₂x
T2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T2 = 98 Newtons
Magnitud de la força de tensió = T 1 = T 2 = T = 98 Newtons
[irp]
4. El bloc 1 (m1 = 16 kg) es troba sobre una superfície horitzontal i el bloc 2 (m2 = 12 kg) es troba sobre un pla inclinat llis, connectats per una corda que passa per sobre d'una petita politja sense fricció. El bloc 3 (m3 = 5 kg) es troba sobre el bloc 2. El coeficient de fricció cinètica entre el bloc 2 i la superfície horitzontal és de 0,4. El coeficient de fricció estàtica entre el bloc 2 amb el bloc 3 és de 0,3.
(a) Quan el sistema s'allibera del repòs, el bloc 3 i el bloc 2 encara llisquen junts?
(b) Si hi ha el bloc 3, quina és l'acceleració del bloc 1 i del bloc 2?
Solució:
a) Quan el sistema s'allibera del repòs, el bloc 3 i el bloc 2 encara llisquen junts?
w 1 = El pes del bloc 1 = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 Newtons
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newtons
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newtons
N 1 = La força normal exercida sobre el bloc 1 pel pla inclinat = w 1y = 78.4 Newtons
w 3 = El pes del bloc 3 = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 Newtons
N 23 = La força normal exercida sobre el bloc 3 pel bloc 2 = w 3 = 49 Newtons
N 32 = La força normal exercida sobre el bloc 2 pel bloc 3 = N 23 = w 3 = 49 Newtons
(N23 i N32 són parells d'acció- reacció )
F s23 = La força de fricció estàtica exercida sobre el bloc 3 pel bloc 2 = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 Newtons
F s32 = La força de fricció estàtica exercida sobre el bloc 2 pel bloc 3 = F s 23 = 14.7 Newtons
(Fs23 i Fs32 són parells d' acció-reacció )
w² = El pes del bloc² = m² g = (12 kg)(9.8 m/s² ) = 117.6 Newtons
N₂ = La força normal exercida sobre l' objecte 2 per la superfície horitzontal = w₂ + N₃₂ = 117.6 Newtons + 49
Newton = 166.6 Newtons
F k2 = La força de fricció cinètica sobre el bloc 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newtons
Aplica la llei del moviment de Newton al bloc 3:
∑ Fx = max
F s23 = m³ a x
—–> Fs23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m³ g = m³ a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s² ) = 2.94 m/ s²
L'acceleració màxima del bloc 3 de manera que el bloc 3 i el bloc 2 encara llisquen junts és de 2.94 m/ s².
Ara calculem la magnitud de l'acceleració del sistema després de sortir del repòs.
La direcció del desplaçament del bloc = la direcció de l'acceleració del bloc = la direcció de T2 = la direcció de w1x.
∑ Fx = max
w1x - T1 +T2 - Fk2 - Fs32 +Fs23 = (m1 +m2 +m3) Lax
w 1x – F k2 = ( m1 + m2 + m3 ) ax
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
69.76 N = (33 kg) a x
a x = 2.11 m/ s²
a x és positiu, és a dir, que la direcció del desplaçament del bloc o la direcció de l'acceleració és la mateixa que la direcció de T 2 o la direcció de w 1x.
La magnitud de l'acceleració és de 2.11 m/s² , inferior a 2.94 m/s² , de manera que podem concloure que el bloc 3 i el bloc 2 encara llisquen junts després de ser alliberats del repòs.
b) La magnitud de l'acceleració del bloc 1 i del bloc 2
∑ Fx = max
w 1x – F k2 = ( m1 + m2 ) ax
—–> Fk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 Newtons
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package id='493′]
- Massa i pes
- Força normal
- Segona llei del moviment de Newton
- Força de fricció
- Moviment sobre la superfície horitzontal sense força de fricció
- El moviment de dos cossos amb la mateixa acceleració sobre una superfície horitzontal rugosa amb la força de fricció
- Moviment sobre el pla inclinat sense força de fricció
- Moviment sobre el pla inclinat rugós amb la força de fricció
- Moviment en un ascensor
- El moviment dels cossos està connectat per cordes i politges
- Dos cossos amb la mateixa acceleració
- Arrodonir una corba plana: dinàmica del moviment circular
- Arrodonir una corba peraltada: dinàmica del moviment circular
- Moviment uniforme en un cercle horitzontal
- Força centrípeta en moviment circular uniforme
