Article sobre l'equació de continuïtat
Intenta obrir l'aixeta lentament mentre prestes atenció a la velocitat de l'aigua que surt per la boca de l'aixeta. Ara compara on és el cabal d'aigua més ràpid, quan la boca de l'aixeta està tancada o no? Per què passa això? Per entendre-ho, estudia l'equació de continuïtat.
Streamline
En un corrent constant, la velocitat de cada partícula de fluid en un punt, per exemple el punt A, és sempre la mateixa. Quan passa pel punt B, la velocitat de les partícules de fluid pot canviar. Tanmateix, en arribar al punt B, les partícules de fluid que segueixen per darrere flueixen a la mateixa velocitat que les partícules de fluid que les precedeixen. De la mateixa manera, quan arriben al punt C, etc. La línia de flux és una corba que connecta els punts A, B i C.
Tub de flux
Podem descriure cada línia de corrent a través de cada punt del flux de fluid. Si percebem un flux de fluid constant, algunes línies de corrent que passen un angle particular sobre la superfície imaginària formen un tub de flux. Cap partícula de fluid s'intersecta, sinó que sempre són paral·leles, i el tub de flux s'assemblarà a una canonada la forma de la qual continua sent la mateixa. El fluid que entra per un extrem del tub sortirà del tub per l'altre extrem.
Dèbit
El cabal indica el volum d'un fluid que flueix a través d'una determinada secció transversal en un cert interval de temps. Matemàticament, es pot expressar:
Descàrrega = Volum de fluid / interval de temps
Q = V/t
Per millorar la vostra comprensió, farem servir un exemple. Per exemple, un fluid flueix a través d'una canonada. Les canonades solen ser cilíndriques i tenen una determinada secció transversal. La canonada també té una longitud.
Quan el fluid flueix per la canonada fins a L, el volum de fluid a la canonada és V = AL (V = volum de fluid, A = àrea de la secció transversal i L = longitud de la canonada). Com que mentre flueix per una canonada al llarg de L, el fluid necessita un cert interval de temps, podem dir que la quantitat de fluid és:
Com que v = s / t = L / t —> L = vt, l'equació anterior es canvia a:
Així, quan el fluid flueix a través d'una canonada que té una determinada àrea de secció transversal i longitud, durant un cert període, la quantitat de descàrrega de fluid (Q) és igual a l'àrea de secció transversal (A) multiplicada per la velocitat del flux de fluid (v).
L'equació de continuïtat
Reviseu el flux de fluid en una canonada que té un diàmetre diferent, tal com es mostra a la figura següent.
Aquesta imatge mostra el flux de fluid d'esquerra a dreta (el fluid flueix des d'una canonada de gran diàmetre fins a una de petit diàmetre). La línia discontínua és aerodinàmica.
A1 = àrea de la secció transversal de la canonada de gran diàmetre, A2 = àrea de secció transversal de diàmetre petit, v1 = velocitat del flux de fluid en una canonada de gran diàmetre, v2 = velocitat del flux de fluid en una canonada de diàmetre petit, L = distància recorreguda pel fluid.
En un corrent constant, la velocitat del flux de partícules de fluid en un punt és igual a la velocitat del flux d'altres partícules de fluid que passen per aquest punt. El flux de fluid tampoc no es talla (les línies són paral·leles). Per tant, la massa de fluid que entra per un extrem de la canonada ha de ser igual a la massa de fluid que surt per l'altre extrem. Si el fluid té una certa massa que arriba al tub amb un diàmetre gran, aleshores el fluid sortirà per una canonada de diàmetre petit amb la mateixa massa.
Ara considereu la figura de la canonada de dalt. Reviseu la canonada de gran diàmetre i la canonada de petit diàmetre.
Durant un cert interval de temps, alguns fluids flueixen a través de la secció de la canonada amb un diàmetre gran (A1) fins a L1 (L1 = v1 t). El volum de fluid que flueix és V1 =A1 L1 =A1 v1 t. Durant el mateix interval de temps, altres fluids flueixen a través de la secció de canonada de petit diàmetre (A2) fins a L2 (L2 = v2 t). El volum de fluid que flueix és V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
L'equació de continuïtat per a fluids incompressibles
En fluids incompressibles, la densitat del fluid és sempre la mateixa en cada punt pel qual passa. La massa de fluid que flueix en una canonada que té una àrea de secció transversal de A1 (diàmetre gran de la canonada) durant un cert interval de temps és:
De la mateixa manera, la massa de fluid que flueix en una canonada que té una àrea de secció transversal de A2 (diàmetre de canonada petit) durant un interval de temps determinat és:
En un corrent constant, la massa del fluid que entra és la mateixa que la massa del fluid que surt, per tant:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t
A1 v1 =A2 v2
Així doncs, l'equació de l'equació de continuïtat a fluids incompressibles:
A1 v1 =A2 v2 — Equació 1
A1 = àrea de la secció transversal 1, A2 = àrea de la secció transversal 2, v1 = velocitat del flux de fluid a la secció 1, v2 = velocitat del flux de fluid a la secció 2, A v = cabal volumètric (V / t) = cabal.
L'equació 1 mostra que el cabal sempre és el mateix en cada punt de la canonada o tub de flux. Quan la secció transversal de la canonada disminueix, el cabal de fluid augmenta, mentre que quan la secció transversal de la canonada es fa gran, el cabal de fluid es fa petit.
Quan una part de la boca de l'aixeta està tancada, el flux d'aigua es torna més pesat que quan una part de la boca de l'aixeta no està tancada. Això és degut a que l'àrea de la secció transversal de l'aixeta es fa petita quan una part de la boca de l'aixeta està tancada, de manera que el cabal d'aigua augmenta. Però és essencial saber que el cabal o descàrrega de fluids és sempre el mateix en cada punt al llarg del flux d'aigua, tant si una part de la boca de la nostra aixeta està tancada com si no. Aleshores, què canvia el cabal del fluid?
Aleshores, què passa amb el cabal d'aigua del riu? La secció profunda del riu té una secció transversal més gran que la part poc profunda del riu, de manera que el cabal d'aigua al riu profund és més petit que la velocitat del cabal d'aigua a la part poc profunda del riu.
L'equació de continuïtat per a fluids compressibles
Per a un fluid comprimit, la densitat del fluid no sempre és la mateixa. En altres paraules, la densitat del fluid canvia quan es comprimeix. Si el fluid no es comprimeix, la densitat del fluid s'elimina de l'equació, de manera que en aquest cas, la densitat del fluid s'inclou a l'equació. Fent referència a l'equació que s'ha derivat anteriorment, derivem l'equació per al fluid comprimit.
La massa del fluid que entra és igual a la massa del fluid que surt, per tant:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t
L'interval de flux de fluid és el mateix, de manera que es pot eliminar. Les equacions canvien a:
ρA1 v1 = ρA2 v2 → Equació 2
Aquesta és l'equació per al fluid comprimit. La diferència rau en la densitat del fluid. Si el fluid es comprimeix, la densitat canvia. Per contra, si el fluid no es comprimeix, la densitat sempre és la mateixa, de manera que es pot eliminar de l'equació.
Exemple de problema 1:
L'aigua flueix per una canonada amb un diàmetre de 10 cm a una velocitat de 2 m/s. Quin és el cabal d'aigua?
Conegut:
Diàmetre de la canonada = 10 cm
Radi de la canonada (r) = 5 cm = 0.05 m
Velocitat de l'aigua (v) = 2 m/s
Es busca: Dèbit
Solució:
Q = A v
Q = (πr)2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157 m3/s
Exemple de problema 2:
Una canonada amb un diàmetre de 20 cm està connectada a una altra canonada amb un diàmetre de 10 cm. Si la velocitat de l'aigua en una canonada amb un diàmetre de 20 cm és de 4 m/s, quina és la velocitat de l'aigua en una canonada amb un diàmetre de 10 cm?
Conegut:
Diàmetre 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Diàmetre 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Es busca: v1
Resposta:
Q1 = Q2
A1 v1 =A2 v2
(πr12) (4 m/s) = (π r22) (v.2)
(0.1 m)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(0.01 m2)(4 m/s) = (0.0025 m2)(v2)
(0.04 m3 /s) = (0.0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
