Article sobre el principi d'Arquimedes
Un vaixell amb una massa enorme no s'enfonsa, mentre que una pedra petita sí que s'enfonsa. Per què? La resposta és senzilla si entens el concepte de flotabilitat i el principi d'Arquimedes.
A la vida quotidiana, descobrirem que els objectes que s'insereixen en un fluid, com una roca, tenen un pes menor que quan els objectes no són dins del líquid. Potser us costarà aixecar una pedra del terra, però la mateixa pedra s'aixeca sense esforç del fons de l'aigua de mar. Això es deu a la força de flotació. La flotabilitat es produeix a causa de les diferències en la pressió del fluid a diferents profunditats. La pressió del fluid augmenta amb la profunditat, com més espès sigui el fluid, més gran serà la pressió del fluid. Quan s'insereix un objecte al fluid, hi haurà una diferència de pressió entre el fluid de la part superior de l'objecte i el fluid de la part inferior de l'objecte. El fluid situat a la part inferior de l'objecte té una pressió més alta que el fluid de la part superior de l'objecte.
A la figura, podeu veure un objecte flotant a l'aigua. El fluid de la part inferior de l'objecte té una pressió més alta que el fluid situat a la part superior de l'objecte. Això és degut a que el fluid que hi ha sota l'objecte té una profunditat més significativa que el fluid que hi ha a sobre de l'objecte (p2 > h1).
La quantitat de pressió del fluid a una profunditat d'h2 és:
La quantitat de pressió del fluid a una profunditat d'h1 és:
F2 = la força aplicada pel fluid a la part inferior de l'objecte, F1 = la força aplicada pel fluid a la part superior de l'objecte, A = la superfície de l'objecte
La diferència entre F2 i F1 és la força total que el fluid exerceix sobre l'objecte, que coneixem com a força de flotabilitat. La quantitat de flotabilitat és:
F flotabilitat =F2 − F1
F flotabilitat = (ρ gh2 A) − (ρ gh1 A)
F flotabilitat = ρ g A (h2 − h1)
F flotabilitat = ρ F g A h
F flotabilitat = ρ F g V
ρF = densitat del fluid, g = acceleració gravitacional, V = volum dels objectes del fluid
Així doncs, podem escriure l'equació que indica la quantitat de flotabilitat (flotabilitat F) anterior:
F flotabilitat = ρF g V → m = ρ V
F flotabilitat = mF g
F flotabilitat = wF
mF g = wF = el pes del fluid que té el mateix volum que el volum de l'objecte submergit.
Basant-nos en l'equació anterior, podem dir que la força de flotació és igual al pes del fluid que es desplaça, el volum de fluid desplaçat és similar al volum de l'objecte submergit en el fluid.
Si l'objecte s'insereix en el fluid, flotant, on la part de l'objecte que s'insereix només és una part,
aleshores el volum de fluid que es desplaça = el volum de la part de l'objecte submergida en el fluid. Independentment de quin sigui l'objecte i de la seva forma, tothom experimentarà el mateix. Aquest és el resultat del treball d'Arquimedes (287-212 aC), conegut com el Principi d'Arquimedes.
El principi d'Arquimedes estableix que:
Quan un objecte es submergeix totalment o parcialment en un líquid, el líquid aplica una força ascendent (força de flotació) a l'objecte, on la quantitat de força ascendent (força de flotació) és igual al pes del fluid que es desplaça.
La història d'Arquimedes
Arquimedes, que va viure entre el 287 i el 212 aC, va rebre l'encàrrec del rei Hieró II d'investigar si la corona feta per al rei era d'or pur o no. Per esbrinar si la corona era d'or pur o si la corona contenia altres metalls, Arquimedes al principi es va confondre. El problema és que la forma de la corona és irregular i no es pot destruir primer per poder determinar si la corona és d'or pur o no.
La idea de determinar si una corona està feta d'or pur o no és determinar primer el pes de la corona i després comparar-lo amb la gravetat específica de l'or. Si la corona està feta d'or pur, aleshores la gravetat específica de la corona = la gravetat específica de l'or.
La gravetat específica d'un objecte és la relació entre el pes de l'objecte a l'aire i el pes de l'aigua que té el mateix volum que el volum dels objectes. Matemàticament s'escriu:
Com es pot determinar el pes de l'aigua que té el mateix volum que el volum dels objectes?
Segons Arquimedes, el pes de l'aigua que té el mateix volum que el volum d'un objecte = la quantitat de força de flotació quan l'objecte s'enfonsa (tota la part de l'objecte es submergeix en aigua). Això és el mateix que el pes dels objectes perduts quan es pesen en aigua. Per tant:
Per determinar la gravetat específica de la corona, primer es pesa la corona a l'aire (el pes de la corona a l'aire). Després s'introdueix la corona a l'aigua i es torna a pesar per obtenir el pes perdut de la corona. Així doncs:
Després d'obtenir la gravetat específica de la corona, es compara amb la gravetat específica de l'or. Gravetat específica de l'or = 19.3. Si la gravetat específica de la corona = la gravetat específica de l'or, la corona està feta d'or pur. Però si la corona no està feta d'or pur, la gravetat específica de la corona no és la mateixa que la gravetat específica de l'or.
Per què no s'enfonsa el vaixell?
Si la densitat d'un objecte és més petita que la densitat de l'aigua, aleshores l'objecte surarà. Per contra, si la densitat d'un objecte és més gran que la densitat de l'aigua, aleshores l'objecte s'enfonsarà. La majoria dels vaixells estan fets de ferro i acer. Densitat del ferro i l'acer = 7.8 x 103 kg / m3 mentre que la densitat de l'aigua = 1.00 x 103 kg / m3Sembla que la densitat del ferro i l'acer és més gran que la densitat de l'aigua. En aquest cas, la gravetat específica del ferro i l'acer = 7.8. El vaixell hauria de ser un enfonsament. Per què no s'enfonsa el vaixell? La densitat total del vaixell és més petita que la densitat de l'aigua o de l'aigua de mar.
Exemple de problema 1:
Una pedra amb una massa de 40 kg es troba al fons d'un estany. Si el volum de la pedra = 0.2 m3, quina és la força mínima necessària per aixecar la pedra?
Conegut:
Massa de la pedra (m) = 40 kg
Volum de pedra (V) = 0.02 m3
Densitat de l'aigua = 1000 kg/m3
Acceleració de la gravetat (g) = 10 m/s2
Volia: F mínim
Solució:
F flotabilitat = wF
F flotabilitat = mF g → m = pV
F flotabilitat = ρF g V
F flotabilitat = (1000 kg/m²)3)(10 m/s2)(0.02 m3)
F flotabilitat = 200 kg m/s2
F flotabilitat = 200 N
pes de la pedra (w) = mg
pes de la pedra = (40 kg)(10 m/s)2)
pes de la pedra = 400 kg m/s2
pes de la pedra = 400 N
La força mínima necessària per aixecar el pedra:
pes de la pedra – força de flotació = 400 N – 200 N = 200 N
Exemple de problema 2:
Pes de l'objecte a l'aire = 5000 kg m/s2 i el pes de l'objecte a l'aigua = 4000 kg m/s2Si la densitat de l'objecte = 2000 kg/m²3 , quina és la massa i el volum de l'objecte? g = 10 m/s2
Solució
Acceleració de la gravetat (g) = 10 m/s2
Densitat de l'objecte = 2000 kg/m²3
Densitat de l'aigua = 1000 kg/m3
Pes de l'objecte a l'aire = 5000 kg m/s2
Pes de l'objecte a l'aigua = 4000 kg m/s2
Força de flotabilitat (F flotabilitat) = pes de l'objecte a l'aire – pes de l'objecte a l'aigua
F flotabilitat = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F flotabilitat = 1000 kg m/s2
F flotabilitat = pes de l'aigua desplaçada
F flotabilitat = (massa d'aigua)(g)
F flotabilitat = (volum d'aigua desplaçada)(densitat de l'aigua)(g)
Volum d'aigua desplaçada = volum de l'objecte dins l'aigua
Volum de l'objecte = 0.1 m3
Massa de l'objecte = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m²)3)(0.1 m3)
m = 200 kg
Massa de l'objecte = 200 kg
Exemple de problema 3:
Quin volum d'heli es necessita si un globus ha d'aixecar 500 kg de càrrega?
Solució:
Densitat de l'heli = 0.1786 kg/m3
Densitat de l'aire = 1.293 kg/m3
Força de flotació = pes de l'aire desplaçat = pes de l'objecte + pes de l'heli
Força de flotació = pes de l'objecte + pes de l'heli
Força de flotabilitat = (massa de la càrrega)(g) + (massa de l'heli)(g)
Força de flotabilitat = (massa de la càrrega + massa d'heli) g —- equació 1
Força de flotació = pes de l'aire desplaçat
Força de flotabilitat = (massa d'aire desplaçada)(g) —- equació 2
Combinem l'equació 1 i l'equació 2:
(massa de la càrrega + massa d'heli)(g) = (massa d'aire desplaçat)(g)
massa de la càrrega + massa d'heli = massa d'aire desplaçat
500 kg + (ρ heli)(V heli) = (ρ aigua)(V aigua)
500 kg = (ρ aigua)(V aigua) – (ρ heli)(V heli)
Volum d'aire que ha desplaçat (V aire) = Volum d'heli al globus (V heli)
500 kg = (ρ aigua – ρ heli)(V)
Aquest és el volum mínim d'heli necessari per aixecar pesos a la superfície terrestre. Perquè el globus floti més alt, cal afegir-hi el volum d'heli. Cal augmentar el volum d'heli perquè la densitat de l'aire disminueix amb l'alçada.
