S'anomena equació de Poiseuille perquè va ser descoberta pel difunt Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Com s'ha explicat, tots els fluids es poden considerar ideals. Els fluids ideals no tenen viscositat. Si imaginem un fluid ideal que flueix en una canonada, totes les parts del fluid es mouen a la mateixa velocitat (v). A diferència dels fluids ideals, els fluids reals, o els fluids que trobem a la vida quotidiana, tenen viscositat. Com que tenen viscositat, quan flueixen en una canonada, per exemple, la velocitat de cada part del fluid varia. La capa de fluid del mig es mou més ràpid (v és gran), mentre que la capa de fluid unida a la canonada no es mou, és a dir, es queda quieta (v = 0). Així doncs, des del centre fins a la vora de la canonada, totes les parts del fluid es mouen a velocitats diferents. Perquè us sigui més fàcil d'entendre, observeu la imatge següent...
Informació:
R = radi del tub/canonada
v1 = cabal de fluid al centre/eix del tub
v2 = cabal de fluid a una distància r2 des de la vora del tub
v3 = cabal de fluid a una distància r3 des de la vora del tub
v4 = cabal de fluid a una distància r4 des de la vora del tub
r = distància
Per garantir que el cabal de cada fluid sigui el mateix, hi ha d'haver una diferència de pressió a tots dos extrems de qualsevol canonada o tub a través del qual flueix el fluid. Per fluid, ens referim a fluids reals, com ara aigua o oli que flueixen per una canonada, sang que flueix pels vasos sanguinis, etc. A més d'ajudar a que un fluid real flueixi suaument, les diferències de pressió també poden permetre que els fluids flueixin per les canonades a diferents altures.
Jean Louis Marie Poiseuille, un antic científic francès interessat en els aspectes físics de la circulació sanguínia humana, va dur a terme una investigació per investigar com factors com les diferències de pressió, l'àrea de la secció transversal d'un tub i la mida del tub afecten la velocitat d'un fluid real. Els resultats obtinguts per Jean Louis Marie Poiseuille es coneixen com l'equació de Poiseuille.
L'equació de Poiseuille es pot derivar utilitzant l'equació del coeficient de viscositat derivada anteriorment. Fem servir l'equació de viscositat perquè el cas és similar, tot i que no idèntic. Quan derivem l'equació del coeficient de viscositat, considerem el flux d'una capa de fluid real entre dues plaques paral·leles, i el fluid és capaç de moure's a causa de la força de tracció (F). La diferència és que l'equació de Poiseuille que derivarem en realitat estableix els factors que influeixen en el flux d'un fluid real en una canonada/tub, i el fluid flueix a causa de les diferències de pressió. Per tant, cal ajustar de nou l'equació del coeficient de viscositat.
Els fluids poden fluir a causa de diferències de pressió (els fluids flueixen de llocs amb alta pressió a llocs amb baixa pressió), per tant substituïm F per p1 - pàg2 (p1 > pàg2).
Quan derivem l'equació del coeficient de viscositat, considerem el flux d'una capa de fluid real entre dues plaques paral·leles. Cada porció del fluid experimenta un canvi regular de velocitat en una distància l. En aquest cas, el cabal del fluid canvia regularment des de l'eix del tub fins a la vora del tub. El fluid a l'eix del tub flueix a una velocitat més gran (v). Com més lluny s'acosta la vora, la velocitat del fluid disminueix. El radi del tub = la distància entre l'eix del tub i la vora del tub = R. La distància entre cada porció del fluid i la vora del tub = r. Com que el nombre de cada porció del fluid és molt gran i la seva distància des de la vora del tub també varia, simplement ho escrivim així:
v1 = la velocitat del fluid a una distància r1 de la vora del tub (r1 = R)
v2 = la velocitat del fluid a una distància r2 de la vora del tub (r2 < r1)
v3 = la velocitat del fluid a una distància r3 de la vora del tub (r3 < r2 < r1)
v4 = la velocitat del fluid a una distància r4 de la vora del tub (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = velocitat del fluid a una distància rn de la vora del tub (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
El nombre de cada part del fluid és molt gran i tampoc sabem exactament quant és realment, per la qual cosa n'hi ha prou amb escriure'l amb el símbol n. Cada part del fluid experimenta un canvi de velocitat (v) regularment, des de l'eix del tub (r1 = R) fins a la vora del tub (rn). Des de l'eix del tub (r1 = R) fins a la vora del tub (rn), la velocitat de cada part del fluid es fa més petita (v1 > v2 > v3 > v4 > ... > vn).
De l'explicació anterior, podem tenir una idea que de R a rn, el cabal del fluid disminueix. La longitud de la canonada = L. L'equació obtinguda és:
Com que el que estem considerant és la velocitat (v) del flux de fluid, l'equació 2 esdevé:
Aquesta és l'equació del cabal de fluid a una distància r d'una canonada amb un radi de R. Si esteu confosos mentre mireu la imatge superior... Tingueu en compte que el fluid flueix en una canonada o tub, per la qual cosa hem de revisar el cabal volumètric del fluid.
Dins del tub hi ha un fluid. Per exemple, dividim el fluid en trossos molt petits, on cada tros té una unitat d'àrea dA, està distanciat de l'eix del tub i té un cabal v. Matemàticament, això es pot escriure de la següent manera:
dA1 = secció de fluid 1, que és a una distància d'1 de l'eix del tub
dA2 = secció de fluid 2, que és a una distància d'2 de l'eix del tub
dA3 = secció de fluid 3, que és a una distància d'3 de l'eix del tub
..................................
dA n = secció de fluid n, que és una distància dA n des de l'eix del tub
Hi ha tantes peces de fluid que és convenient escriure-les simplement amb el símbol n. El cabal volumètric de cada peça de fluid es pot escriure matemàticament de la següent manera:
Cada tros de fluid es troba a una distància de r = 0 a r = R (R = el radi del tub). En altres paraules, la distància de cada tros de fluid varia quan es mesura des de l'eix del tub. Si juguem amb el càlcul (integració), obtindrem l'equació del cabal volumètric del fluid al tub:
Informació:
Q = Dèbit
R = Radi intern de la canonada o tub
η = Coeficient de viscositat
P1 - pàg2 = Diferència de pressió entre els dos extrems de la canonada
L = Longitud de la canonada
p1-p2/L = Gradient de pressió (el flux de fluid sempre va en la direcció de disminució de la pressió)
Basant-nos en l'equació de Poiseuille anterior, sembla que el cabal volumètric del fluid, també conegut com a descàrrega (Q), és proporcional a la quarta potència del radi del tub (R).4), gradient de pressió (p2 - pàg1 /L) i és inversament proporcional a la viscositat. Si s'augmenta el radi del tub (el coeficient de viscositat i el gradient de pressió romanen constants), el cabal de fluid augmenta per un factor de 16.
El concepte bàsic del disseny de canonades, xeringues, etc. utilitza aquesta equació. El cabal de fluid és proporcional a R4 (R = radi del tub). Cal calcular amb cura el radi de la xeringa o el radi de la canonada. Per exemple, si dupliquem el radi de l'agulla (r x 2), el cabal del líquid que ruixa = augmenta la força de pressió del polze en 16 vegades.
L'equació de Poiseuille també mostra que la quarta potència del radi (r4), és inversament proporcional a la diferència de pressió entre els dos extrems de la canonada. Per exemple, inicialment la sang flueix en un vas sanguini amb un radi intern de r. Si hi ha un estrenyiment del vas sanguini (per exemple, r/2 = el radi intern del vas sanguini es redueix al 2), aleshores cal una diferència de pressió de 16 vegades per fer que la sang flueixi com abans (de manera que el cabal o el cabal volumètric de sang es mantingui constant).
