Valor esperat de la distribució binomial
La distribució binomial és una de les distribucions de probabilitat discretes més comunes en estadística i probabilitat. Aquesta distribució descriu el nombre d'èxits en una sèrie d'assajos binaris independents (assajos amb només dos resultats: èxit o fracàs). Per entendre millor la distribució binomial, és important entendre el concepte de valor esperat, que descriu el valor mitjà d'un assaig repetit a llarg termini. Aquest article revisarà el concepte de valor esperat en el context de la distribució binomial.
Definició de distribució binomial
La distribució binomial sorgeix en contextos on realitzem diversos assaigs idèntics i independents, i cada assaig té dos resultats mútuament excloents, generalment anomenats "èxit" i "fracàs". Per exemple, llançar una moneda al aire (cara o creu), respondre una pregunta d'examen (cert o fals) o un assaig mèdic (curat o no curat).
La distribució binomial es defineix per dos paràmetres:
– n, nombre d'assajos.
– p, la probabilitat d'èxit en cada prova.
En termes generals, si X és una variable aleatòria que representa el nombre d'èxits en n proves, aleshores X segueix una distribució binomial amb paràmetres n i p, que es denota com a X ~ Binomial(n, p).
Funció de probabilitat
La funció de probabilitat de la distribució binomial és la següent:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
On:
– \( \binom{n}{k} \) és el coeficient binomial, que es calcula com \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k\) és el nombre desitjat d'èxits.
– \(n\) és el nombre d'assajos.
– \(p\) és la probabilitat d'èxit en cada intent.
– \((1-p) \) és la probabilitat de fracàs en cada prova.
Valor esperat
El valor esperat o la mitjana d'una distribució de probabilitat és una de les mesures més importants de la ubicació central. Per a la distribució binomial, el valor esperat d'una variable aleatòria X que segueix la distribució binomial(n, p) és:
\[ E(X) = np \]
Prova del valor esperat
Per entendre per què el valor esperat de la distribució binomial és np, podem utilitzar la propietat de linealitat del valor esperat i veure com les variables binàries sumen la seva contribució.
Definim \(X\) com el nombre d'èxits en n proves binàries. Més concretament, sigui \(X_i\) una variable aleatòria que denota el resultat de la i-èsima prova, amb \(X_i = 1\) si la i-èsima prova és un èxit i \(X_i = 0\) si és un fracàs. Aleshores, podem escriure \(X\) com:
[X = X_1 + X_2 + ... + X_n]
Com que cada \(X_i\) és una variable binària amb probabilitat d'èxit p, el valor esperat de \(X_i\) és:
E(X_i) = 1 ∫p + 0 ∫(1-p) = p
Podem utilitzar la propietat de linealitat del valor esperat per al valor esperat de X:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + ∫ + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫ + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + ... + p \]
\[ E(X) = np \]
Això demostra que el valor esperat de la distribució binomial és np.
Exemple il·lustratiu
Considerem el cas en què llancem una moneda normal 10 vegades. Preguntem-nos quin seria el valor esperat del nombre de llançaments que resulten en cara.
En aquest cas:
– n = 10 (nombre de llançaments de moneda)
– p = 0.5 (probabilitat de treure cara, ja que la moneda és justa)
Així doncs, el valor esperat és:
E(X) = np = 10 × 0.5 = 5
Això vol dir que si llancem una moneda 10 vegades repetidament a llarg termini, de mitjana obtindrem cara 5 vegades.
Variància i desviació estàndard
A més del valor esperat, també és important entendre la variància i la desviació estàndard de la distribució binomial.
Per a la distribució binomial, la variància σ² i la desviació estàndard σ són les següents:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
La variància mesura fins a quin punt les dades es dispersen respecte al valor esperat. La desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància i també mesura la dispersió de les dades, però en les mateixes unitats que les dades originals.
Conclusió
La distribució binomial és un concepte fonamental en estadística i probabilitat, que es troba amb freqüència en diverses aplicacions del món real, des dels negocis fins a les ciències socials i la biologia. El valor esperat de la distribució binomial, calculat com a np, proporciona informació important sobre el nombre mitjà d'èxits en una sèrie d'assajos binàries. En comprendre els conceptes de valor esperat, variància i desviació estàndard, podem obtenir una comprensió més clara de les característiques de la distribució binomial i com descriu certs fenòmens de la vida quotidiana.
Aquest coneixement és extremadament útil no només en l'anàlisi de dades i l'estadística, sinó també en la presa de decisions que requereixen avaluar la probabilitat i la incertesa. Comprendre el valor esperat i la distribució binomial ens pot ajudar a fer prediccions més precises i prendre decisions més informades.
