Quartils de dades individuals: una comprensió profunda de la divisió de dades en estadística
Un dels conceptes fonamentals de l'estadística és dividir les dades en quartils. Els quartils s'utilitzen per entendre la distribució de dades amb més detall que simplement mirar la mediana o la mitjana. En aquest article, parlarem dels quartils d'un sol conjunt de dades, com calcular-los i les seves aplicacions en diversos contextos d'anàlisi de dades.
Què és el quartil?
Els quartils són valors específics que divideixen les dades ordenades en quatre parts iguals. En poques paraules, els quartils són agrupacions de dades ordenades, on cada quartil cobreix aproximadament el 25% de les dades.
Els quartils consten de tres marcadors principals:
1. Primer quartil (Q1): divideix el 25% més baix de les dades de la resta.
2. Segon quartil (Q2) o mitjana: divideix les dades en dues parts iguals, el 50% de les dades estan per sota d'aquest valor i el 50% estan per sobre d'aquest valor.
3. Tercer quartil (Q3): divideix el 25% més alt de les dades de la resta.
Cada quartil serveix com a representació d'una porció particular del conjunt de dades i té diverses aplicacions, des de la descripció de dades fins a l'anàlisi de valors atípics.
Com calcular quartils
Per calcular quartils, el primer pas és ordenar les dades en ordre ascendent. Vegem els passos detallats per calcular quartils en un sol conjunt de dades:
Ordenació de dades
Suposem que tenim el següent conjunt de dades:
7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
El primer pas és assegurar-se que les dades estiguin ordenades:
7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
Determinació de la posició del quartil
A continuació, determinem les posicions dels quartils. Per a un conjunt de dades de mida \( N \):
– Posició Q1 = (N+1)/4)
– Posició Q2 = (N+1)/2)
– Posició Q3 = (3(N+1)/4)
Per al nostre conjunt de dades (N=10):
– Posició Q1 = (\frac{(10+1)}{4} = 2.75)
– Posició Q2 = (\frac{(10+1)}{2} = 5.5)
– Posició Q3 = (3(10+1)}{4} = 8.25)
Interpolant quartils
Si la posició del quartil és un nombre decimal, aleshores interpolem entre dos valors de dades adjacents.
– Q1 (Posició 2.75):
Combineu els valors de dades a la 2a posició `15` i a la 3a posició `36`.
Q1 = 15 + 0.75 (36 – 15) = 15 + 0.75 21 = 15 + 15.75 = 30.75
– Q2 (Mitjana a la posició 5.5):
Combineu els valors de dades a la 5a posició `40` i a la 6a posició `41`.
Q2 = 40 + 0.5 (41 – 40) = 40 + 0.5 1 = 40.5
– Q3 (Posició 8.25):
Combineu els valors de dades a la 8a posició `43` i a la 9a posició `47`.
Q3 = 43 + 0.25 (47 – 43) = 43 + 0.25 4 = 43 + 1 = 44
Així doncs, els quartils del nostre conjunt de dades són:
– Q1 = 30.75
– Q2 = 40.5
– Q3 = 44
Aplicació de quartils
Descripció estadística
Els quartils s'utilitzen com a part de les descripcions estadístiques per proporcionar una visió general de la distribució de dades. Conèixer els quartils ens permet entendre millor la consistència, la simetria i la dispersió de les dades.
Anàlisi de valors atípics
Els quartils també són molt útils per identificar valors atípics. Els valors atípics són valors de dades que estan lluny de la majoria del conjunt de dades. Per detectar valors atípics, normalment s'utilitza el mètode "Rang interquartílic (IQR)".
L'IQR es calcula com la diferència entre Q3 i Q1:
\[ \text{IQR} = Q3 – Q1 \]
Els valors de les dades es consideren valors atípics si són inferiors a \(Q1-1.5 × \text{IQR} \) o superiors a \(Q3+1.5 × \text{IQR} \).
En el conjunt de dades anterior:
– IQR = 44 – 30.75 = 13.25
– Límit inferior per a valors atípics = Q1 – 1.5 IQR = 30.75 – 1.5 13.25 = 30.75 – 19.875 = 10.875
– Límit superior per a valors atípics = Q3 + 1.5 IQR = 44 + 1.5 13.25 = 44 + 19.875 = 63.875
Per tant, els valors de dades inferiors a 10.875 o superiors a 63.875 es consideren valors atípics. Com que el nostre conjunt de dades es troba dins d'aquest rang, no hi ha valors atípics.
Tractament de dades complexes
A més de ser utilitzats en dades simples, els quartils també es poden aplicar a conjunts de dades més complexos. En l'anàlisi financera, per exemple, els quartils poden ajudar a identificar el rendiment d'una acció en particular dins del mercat. En educació, els quartils es poden utilitzar per identificar el rendiment acadèmic dels estudiants en una prova en particular.
Plot de caixa
Una eina de visualització que utilitza quartils és el diagrama de caixa o diagrama de caixa de Tukey. Un diagrama de caixa proporciona una representació gràfica de cinc resums importants de les dades: el valor mínim, el primer quartil (Q1), la mediana (Q2), el tercer quartil (Q3) i el valor màxim. Una manera fàcil de detectar valors atípics és utilitzar un diagrama de caixa, on els valors atípics es mostren normalment com a punts fora dels "bigotis" (les línies ombrejades entre el mínim, Q1, Q3 i el màxim).
Conclusió
Calcular i comprendre els quartils en un sol conjunt de dades proporciona una comprensió més profunda de l'estructura de dades, la seva distribució i la presència o absència de valors atípics. En una àmplia gamma d'aplicacions, des de descripcions estadístiques simples fins a anàlisis més complexes com la detecció de valors atípics i l'ús de diagrames de caixa, els quartils tenen un paper crucial en l'anàlisi i la interpretació de dades. Amb aquesta eina, l'anàlisi de dades esdevé més sistemàtica i informativa, obrint el camí per a una comprensió més profunda i descobriments més significatius en diversos camps d'estudi. Els quartils no només faciliten les descripcions estadístiques, sinó que també proporcionen informació significativa essencial per a la presa de decisions basada en dades.
Una comprensió sòlida dels quartils i de com s'apliquen a l'anàlisi de dades és una habilitat valuosa que es pot adoptar en una varietat de contextos pràctics, des de la recerca fins als negocis, cosa que ens fa més intel·ligents a l'hora d'analitzar i interpretar dades.
