Material de la llei d'Arquimedes
Has vist mai un vaixell? Si no n'has vist cap en persona, és probable que n'hagis vist cap per televisió o per internet. Un vaixell amb una massa molt gran no s'enfonsa, mentre que una roca petita i lleugera sí que pot. Per què passa això? La resposta és força senzilla si entens els conceptes de flotabilitat i el principi d'Arquimedes.
A la vida quotidiana, descobrirem que els objectes col·locats en un fluid, com ara una roca, tenen menys pes que quan l'objecte no és dins del fluid. Pot ser que tingueu dificultats per aixecar una roca de la superfície del terra, però la mateixa roca s'aixeca fàcilment del fons de la piscina. Això es deu a la força de flotabilitat. La flotabilitat es produeix a causa de la diferència de pressió del fluid a diferents profunditats. La pressió del fluid augmenta amb la profunditat, com més profund sigui el fluid, més gran serà la pressió del fluid. Quan es col·loca un objecte en un fluid, hi haurà una diferència de pressió entre el fluid que hi ha a sobre de l'objecte i el fluid que hi ha a sota. El fluid situat a la part inferior de l'objecte té una pressió més gran que el fluid situat a la part superior de l'objecte.
Flotabilitat
A la imatge, es veu un objecte flotant a l'aigua. El fluid que hi ha a sota de l'objecte té una pressió més gran que el fluid que hi ha a sobre. Això és degut a que el fluid que hi ha a sota de l'objecte té una profunditat més gran que el fluid que hi ha a sobre de l'objecte (h2 > h1).
F2 = força exercida pel fluid sobre la part inferior de l'objecte, F1 = força exercida pel fluid sobre la part superior de l'objecte, A = superfície de l'objecte
La diferència entre F2 i F.1 és la força total exercida pel fluid sobre un objecte, que coneixem com a força de flotació. La magnitud de la força de flotació és:
F flotabilitat = F2 − F1
F flotabilitat = (ρ gh2 A ) − (ρ gh1 A)
F flotabilitat = ρ g A (h2 − h1)
F flotabilitat = ρ g A h
F flotabilitat = ρ g V
Informació:
ρ = densitat del fluid
g = acceleració deguda a la gravetat
V = volum de l'objecte en el fluid
de manera que l'equació que indica la magnitud de la força de flotació (flotació F) anterior es pot escriure com:
F flotabilitat = ρF g V → m = ρ V
F flotabilitat = mF g
F flotabilitat = wF
mF g = wF = pes del fluid que té el mateix volum que el volum de l'objecte submergit.
Exemple de força de flotabilitat
Principi d'Arquimedes
Basant-nos en l'equació anterior, podem dir que la força de flotació és igual al pes del fluid desplaçat, el volum del fluid desplaçat és igual al volum de l'objecte immers en el fluid.
Si un objecte s'immersa en un fluid i flota, amb només una part de l'objecte submergida, aleshores el volum del fluid desplaçat és igual al volum de la part de l'objecte submergida en el fluid. Independentment de la forma o la mida de l'objecte, a tots els passarà el mateix. Aquest és el treball d'Arquimedes (287-212 aC), que ara es coneix com el Principi d'Arquimedes.
El principi d'Arquimedes estableix que:
Quan un objecte està completament o parcialment immers en un fluid, el fluid exercirà una força ascendent (força de flotació) sobre l'objecte, on la magnitud de la força ascendent (força de flotació) és igual al pes del fluid desplaçat.
La història d'Arquimedes
Arquimedes, que va viure entre el 287 i el 212 aC, va rebre l'encàrrec del rei Hieró II d'investigar si la corona feta per al rei estava feta d'or pur. Inicialment, Arquimedes estava confós sobre si la corona estava feta d'or pur o si contenia altres metalls. El problema era que la corona tenia una forma irregular i no es podia destruir per determinar si era d'or pur.
La idea per determinar si una corona de rei està feta d'or pur és determinar primer la gravetat específica de la corona i després comparar-la amb la gravetat específica de l'or. Si la corona està feta d'or pur, aleshores la gravetat específica de la corona = la gravetat específica de l'or.
La gravetat específica d'un objecte és la relació entre el pes de l'objecte a l'aire i el pes de l'aigua amb el mateix volum que l'objecte. Matemàticament, s'escriu:
Com es pot determinar el pes de l'aigua que té el mateix volum que el volum d'un objecte?
Segons Arquimedes, el pes de l'aigua amb el mateix volum que el volum de l'objecte = la magnitud de la força de flotació quan l'objecte s'enfonsa (tot l'objecte està submergit a l'aigua). Això és el mateix que el pes de l'objecte perdut quan es pesa a l'aigua. Així:
Per determinar la gravetat específica de la corona, primer es pesa la corona en aire (pes de la corona en aire). A continuació, es submergeix la corona en aigua i es torna a pesar per obtenir el pes de la corona perduda. Així doncs:
Un cop obtinguda la gravetat específica de la corona, es compara amb la gravetat específica de l'or. La gravetat específica de l'or és de 19,3. Si la gravetat específica de la corona és igual a la gravetat específica de l'or, aleshores la corona està feta d'or pur. Tanmateix, si la corona no està feta d'or pur, aleshores la gravetat específica de la corona no serà la mateixa que la gravetat específica de l'or.
Per què no s'enfonsen els vaixells?
Si la densitat d'un objecte és menor que la densitat de l'aigua, aleshores l'objecte surarà. En canvi, si la densitat d'un objecte és major que la densitat de l'aigua, l'objecte s'enfonsarà. La majoria dels vaixells estan fets de ferro i acer. Densitat del ferro i l'acer = 7,8 x 103 kg / m3 mentre que la densitat de l'aigua = 1,00 x 103 kg / m3Sembla que la densitat del ferro i l'acer és més gran que la densitat de l'aigua. En aquest cas, la gravetat específica del ferro i l'acer = 7,8. Els vaixells fets de ferro i acer s'haurien d'enfonsar. Per què no s'enfonsen els vaixells? La densitat total del vaixell és més petita que la densitat de l'aigua o de l'aigua de mar.
Exemples de preguntes sobre la llei d'Arquimedes
Exemple de pregunta 1:
Una roca de 40 kg es troba al fons d'una piscina. Si el volum de la roca = 0,2 m3 quanta força mínim necessari per aixecar la pedra?
Discussió
Se sap que:
Massa de la pedra (m) = 40 Kg
Volum de pedra (V) = 0,02 m3
Densitat de l'aigua = 1000 kg/m3
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s2
Preguntat: F mínim
Resposta:
F flotabilitat = w F
F flotabilitat = m F g → m = pV
F flotabilitat = ρ F g V
F flotabilitat = (1000 kg/m3 )(10 m/s2)(0,02 m3)
F flotabilitat = 200 kg m/s2
F flotabilitat = 200 N
Pes de la pedra (w) = mg
Pes de la pedra = (40 kg)(10 m/s)2)
Pes de la pedra = 400 kg m/s2
Pes de la pedra = 400 N
Força mínima necessària per aixecar una roca:
Pes de la pedra – Força de flotació = 400 N – 200 N = 200 Newtons.
Exemple de pregunta 2:
Pes de l'objecte a l'aire = 5000 kg m/s2 i el pes de l'objecte a l'aigua = 4000 kg m/s2Si la densitat objecte = 2000 kg/m²3 Quina és la massa i el volum de l'objecte? g = 10 m/s2
Discussió
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/s2
Densitat de l'objecte = 2000 kg/m²3
Densitat de l'aigua = 1000 kg/m3
Pes de l'objecte a l'aire = 5000 kg m/s2
Pes de l'objecte a l'aigua = 4000 kg m/s2
Força de flotació (F flotabilitat) = Pes de l'objecte a l'aire – Pes de l'objecte a l'aigua
F flotabilitat = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F flotabilitat = 1000 kg m/s2
F flotabilitat = Pes de l'aigua desplaçada
F flotabilitat = (massa d'aigua)(g)
F flotabilitat = (volum d'aigua desplaçada)(densitat de l'aigua)(g)
Volum d'aigua desplaçada = Volum d'objecte submergit a l'aigua 😉
Per tant, el volum de l'objecte = 0,1 m²3
Massa de l'objecte = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg/m²)3 )( 0,1 m3 )
m = 200 kg
Massa de l'objecte = 200 kg
Exemple de pregunta 3:
Quin volum d'heli es necessita si un globus ha d'aixecar una càrrega de 500 kg?
Discussió
Densitat de l'heli = 0,1786 kg/m3
Densitat de l'aire = 1,293 kg/m3
Força de flotació = Pes de l'aire desplaçat = Pes de la càrrega + Pes de l'heli
Força de flotació = Pes de la càrrega + pes de l'heli
Força de flotabilitat = (massa de la càrrega)(g) + (massa de l'heli)(g)
Força de flotabilitat = (massa de la càrrega + massa d'heli) g —- equació 1
Força de flotació = Pes de l'aire desplaçat
Força de flotabilitat = (massa d'aire desplaçat)(g) —- equació 2
Combinem l'equació 1 i l'equació 2:
(massa de la càrrega + massa d'heli)(g) = (massa d'aire desplaçat)(g)
massa de la càrrega + massa d'heli = massa d'aire desplaçat
500 kg + (ρ heli)(V heli) = (ρ aire)( V aire)
500 kg = (ρ aire)(V aire) – (ρ heli)(V heli)
Volum d'aire desplaçat (V aire) = Volum d'heli que omple el globus (V heli)
500 kg = (ρ aire – ρ heli)(V)
Aquest és el volum mínim d'heli necessari per aixecar un pes a la superfície de la Terra. Perquè el globus pugui flotar més amunt, cal augmentar el volum d'heli. Això és degut a que la densitat de l'aire disminueix amb l'altitud.
