Exemples de preguntes sobre sistemes d'equacions lineals i desigualtats
Els sistemes d'equacions lineals i desigualtats són un tema important en matemàtiques amb una aplicació àmplia en diversos camps, com ara l'economia, la ciència i l'enginyeria. En aquest article, discutirem exemples de problemes que impliquen sistemes d'equacions lineals i desigualtats i com resoldre'ls en detall.
Definició d'un sistema d'equacions lineals
Un sistema d'equacions lineals consta de dues o més equacions lineals relacionades entre si. Alguns exemples són:
\[
\begin{casos}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{casos}
\]
L'objectiu de resoldre aquest sistema és trobar els valors de \(x\) i \(y\) que satisfan ambdues equacions simultàniament.
Mètodes per resoldre sistemes d'equacions lineals
Hi ha diversos mètodes per resoldre sistemes d'equacions lineals, entre els quals hi ha:
1. Mètode de substitució
2. Mètode d'eliminació
3. Mètode matricial (invers o de Gauss-Jordan)
Exemple de pregunta 1: Mètode de substitució
Resolem el següent sistema utilitzant el mètode de substitució:
\[
\begin{casos}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{casos}
\]
Langkah-langkah:
1. Aïlleu una de les variables en una de les equacions.
De la primera equació, aïllem \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Substitueix l'expressió trobada a l'altra equació.
Substituïm \(x = 10 – 2y\) a la segona equació:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Resol per a \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7a = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Utilitzeu els valors trobats per trobar altres variables.
Substituïm \(y = \frac{25}{7}\) de nou a l'expressió de \(x\):
\[
x = 10 – 2(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Així doncs, les solucions del sistema són (x = 20/7) i (y = 25/7).
Exemple de pregunta 2: Mètode d'eliminació
A continuació, utilitzem el mètode d'eliminació per resoldre el següent sistema:
\[
\begin{casos}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{casos}
\]
En aquest cas, veiem que la segona equació és un múltiple de la primera equació. Per reduir el sistema, podem multiplicar la primera equació per 2 i després restar-la de la segona equació:
1. Multiplica la primera equació per 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Resteu la primera equació multiplicada de la segona equació:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Això dóna \(0 = 0\), que indica que el sistema té infinites solucions i aquestes equacions són dependents.
Exemple de pregunta 3: Desigualtats lineals
Les desigualtats lineals segueixen principis similars a les equacions lineals, però impliquen signes de desigualtat com ara \(<, \leq, >, \geq\). Vegem un exemple senzill:
\[
\begin{casos}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Passos: 1. Fem servir el mètode gràfic per determinar la regió de solució d'aquest sistema. Representeu gràficament cada desigualtat. 2. Convertiu la desigualtat en una equació per determinar la línia de contorn: Per a \(3x - y < 7\), la línia de contorn és \(3x - y = 7\)
