Exemples de preguntes i discussió del concepte de derivades de funcions
La derivada d'una funció és un concepte fonamental en càlcul que té aplicacions àmplies en diverses disciplines, com ara la física, l'economia i l'enginyeria. Aquest article tractarà diversos problemes d'exemple i discutirà el concepte de derivada d'una funció per proporcionar una comprensió més profunda d'aquest tema.
Definició bàsica de derivats
Abans d'entrar en les preguntes d'exemple, és una bona idea repassar breument la definició i els conceptes bàsics de les derivades. La derivada d'una funció \( f(x) \) en el punt \( x = a \) és:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
La funció \(f'(x) \) s'anomena funció derivada de \(f(x) \).
Exemple de pregunta 1: Derivades polinòmiques bàsiques
Pregunta:
Troba la primera derivada de la funció \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Discussió:
Utilitza la regla bàsica de la derivada \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Per a \(3x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Per a \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Per a \(2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Per a \(-7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Així:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Exemple de pregunta 2: Derivades de funcions trigonomètriques
Pregunta:
Trobeu la primera derivada de la funció g(x) = sin(x) \cdot \cos(x)
Discussió:
Utilitza la regla del producte \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) amb \( u(x) = \sin(x) \) i \( v(x) = \cos(x) \).
1. La derivada de \( \sin(x) \) és \( \cos(x) \), per tant \( u'(x) = \cos(x) \).
2. La derivada de \( \cos(x) \) és \( -\sin(x) \), per tant \( v'(x) = -\sin(x) \).
Substitució \(u'(x) \) i \(v'(x) \):
[g'(x) = cos(x) \cdot \cos(x) + sin(x) \cdot (-sin(x))]
g'(x) = cos²(x) – sin²(x)
El resultat final:
g'(x) = cos²(x) – sin²(x)
Exemple 3: Derivada d'una funció exponencial
Pregunta:
Trobeu la primera derivada de la funció \(h(x) = e^{2x} \).
Discussió:
Utilitza la regla de la derivada de la funció exponencial \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) amb \( k = 2 \).
h'(x) = d/dx e^2x
h'(x) = 2 \cdot e^{2x}
El resultat final:
h'(x) = 2e^{2x}
Exemple de pregunta 4: Derivada d'una funció logarítmica
Pregunta:
Troba la primera derivada de la funció ∫(x) = ∫ln(3x + 1)).
Discussió:
Utilitza la regla de la derivada de la funció logarítmica \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) amb \( u(x) = 3x + 1 \).
1. Trobeu la derivada interna \(u(x) = 3x + 1 \):
\[u'(x) = 3 \]
2. Utilitza la regla de la derivada logarítmica:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
El resultat final:
p'(x) = 3/3x + 1
Exemple de pregunta 5: Aplicació de derivades: màxim i mínim
Pregunta:
Trobeu els valors màxim i mínim de la funció \(q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5\) en l'interval \(x \in [-2, 2]\).
Discussió:
1. Troba la primera derivada de \(q(x) \):
q'(x) = d/dx (-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5)
q'(x) = -6x^2 + 6x + 12
2. Trobeu els punts estacionaris resolent \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Els punts estacionaris són \(x = 2\) i \(x = -1\).
3. Avalueu \(q(x) \) en punts crítics i límits d'interval:
q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Avaluació dels resultats:
– El valor màxim es produeix a \(x = 2\) amb \(q(2) = 15\).
– El valor mínim es produeix a \(x = -1\) amb \(q(-1) = -12\).
Tancament
Una comprensió completa del concepte de derivada d'una funció és crucial en diversos camps de la ciència. Esperem que els exemples de problemes i les discussions anteriors us ajudin a aprofundir la comprensió del concepte. A la pràctica, sovint necessitem combinar diverses regles i teoremes per resoldre problemes més complexos. Bon aprenentatge!
