Exemples de preguntes i discussió sobre la composició de funcions
La composició de funcions és un concepte matemàtic on dues funcions es combinen en una. Si \(f\) i \(g\) són dues funcions, aleshores la composició de \(f\) i \(g\) és una nova funció definida com \((f \circ g)(x)\) que significa \(f(g(x))\). En aquest article, discutirem diversos exemples de problemes i com resoldre'ls relacionats amb la composició de funcions.
1. Coneixements bàsics de la composició funcional
Abans d'entrar en els exemples de preguntes, entenguem breument què és la composició de funcions.
Suposem que hi ha dues funcions \(f\) i \(g\):
– Funció \(f \) : \(x \mapsto f(x) \)
– Funció \(g \) : \(x \mapsto g(x) \)
La composició de \(f\) i \(g\), escrita com a \(f \circ g\), és una funció que satisfà:
\[ (f ∫ g)(x) = f(g(x)) \]
Aquí, \(g(x)\) és l'entrada de la funció \(f\).
2. Exemple de pregunta 1
Pregunta:
Donada la funció \(f(x) = 2x + 3 \) i la funció \(g(x) = x – 5 \). Determineu \((f \circ g)(x) \) i \((g \circ f)(x) \).
Discussió:
Calculem la primera composició \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f ∫ g)(x) = f(g(x)) \]
El primer pas és inserir \( g(x) \) a \( f(x) \):
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
En segon pas, introduïm \(x – 5\) a la funció \(f\):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Així doncs, (f ∫g)(x) = 2x – 7).
Ara calculem la segona composició \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Primer pas, inserim \( f(x) \) a \( g(x) \):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
En segon pas, inserim \( 2x + 3 \) a la funció \( g \):
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Així doncs, \((g \circ f)(x) = 2x – 2 \).
3. Exemple de pregunta 2: Composició de funcions amb funcions quadràtiques
Pregunta:
Donada la funció \( f(x) = x^2 + 1 \) i la funció \( g(x) = 3x – 4 \). Determineu \( (f \circ g)(x) \) i \( (g \circ f)(x) \).
Discussió:
Calculem la primera composició \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f ∫ g)(x) = f(g(x)) \]
El primer pas és inserir \( g(x) \) a \( f(x) \):
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
En segon pas, introduïm \(3x – 4\) a la funció \(f\):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Així, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Ara calculem la segona composició \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Primer pas, inserim \( f(x) \) a \( g(x) \):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
En segon pas, introduïm \(x^2 + 1 \) a la funció \(g \):
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Així doncs, (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1).
4. Exemple de pregunta 3: Composició de funcions trigonomètriques
Pregunta:
Donada la funció \( f(x) = \sin x \) i la funció \( g(x) = x^2 \). Determineu \( (f \circ g)(x) \) i \( (g \circ f)(x) \).
Discussió:
Calculem la primera composició \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f ∫ g)(x) = f(g(x)) \]
El primer pas és inserir \( g(x) \) a \( f(x) \):
\[ g(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]
En segon pas, introduïm \(x^2\) a la funció \(f\):
f(x^2) = sin (x^2)
Així doncs, (f ∫g)(x) = sin (x^2)).
Ara calculem la segona composició \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Primer pas, inserim \( f(x) \) a \( g(x) \):
f(x) = sin x
g(f(x)) = g(sin x)
En segon pas, inserim \( \sin x \) a la funció \( g \):
g(sin x) = (sin x)^2
\[ = \sin^2 x \]
Així doncs, (g \circ f)(x) = \sin^2 x).
Conclusió
La composició de funcions és una manera de combinar dues funcions en una sola. A través dels exemples anteriors, hem après que el procés de composició de funcions implica substituir una funció per una altra. El resultat final de la composició de funcions depèn en gran mesura de l'ordre en què s'apliquen primer les funcions.
És important entendre que \( (f \circ g)(x) \) no és sempre el mateix que \( (g \circ f)(x) \), i aquesta diferència pot ser molt significativa en diverses aplicacions de les matemàtiques i la ciència. Per tant, comprendre els conceptes bàsics i com calcular la composició de funcions és molt important per a qualsevol persona que estudiï matemàtiques a un nivell intermedi o avançat.
Esperem que la discussió i els exemples de preguntes anteriors siguin útils i ajudin els lectors a entendre la composició de les funcions.
