Exemples de preguntes sobre la funció de distribució binomial
La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que descriu el nombre d'èxits en un experiment que consisteix en diversos assajos independents amb dos resultats possibles: èxit i fracàs. Cada assaig s'anomena assaig, i la distribució binomial s'utilitza sovint en situacions en què el nombre d'èxits en diversos assajos independents és d'interès. En aquest article, discutirem els conceptes bàsics de la distribució binomial i proporcionarem exemples i solucions.
Conceptes bàsics de la funció de distribució binomial
Abans d'entrar en les preguntes d'exemple i la discussió, parlem d'alguns conceptes bàsics relacionats amb la distribució binomial.
1. Definició: La distribució binomial es defineix com la suma d'èxits en 'n' assaigs independents, on cada assaig té dos resultats possibles: èxit (amb probabilitat p) o fracàs (amb probabilitat q = 1 – p).
2. Funció de probabilitat: La funció de probabilitat de la distribució binomial és:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
On:
– \(P(X = k) \) és la probabilitat de tenir k èxits en n proves.
– \( \binom{n}{k} \) és una combinació de n amb k, que es defineix com \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p\) és la probabilitat d'èxit en cada intent.
– \((1-p) \) és la probabilitat de fracàs en cada intent.
3. Valor esperat i variància:
– El valor esperat (mitjana) de la distribució binomial és (μ = np).
– La variància de la distribució binomial és \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Ara, apliquem aquests conceptes en un problema d'exemple per proporcionar una comprensió més profunda.
Exemple de pregunta 1: Càlculs bàsics de la distribució binomial
Pregunta:
Una empresa produeix components electrònics amb una probabilitat del 0.95 que cada component superi una prova de qualitat. Si es produeixen 10 components, calcula la probabilitat que exactament 8 components superin la prova de qualitat.
Discussió:
Podem utilitzar la fórmula de la distribució binomial per resoldre aquest problema. Primer, identifiquem els paràmetres següents:
– \(n\) (nombre total d'assajos) = 10
– \(k \) (nombre d'èxits) = 8
– \(p\) (probabilitat d'èxit) = 0.95
– \(q \) (probabilitat de fallada) = 1 – 0.95 = 0.05
A continuació, substituïu aquests valors a la fórmula de la distribució binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Primer, calcula la combinació \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
A continuació, calcula les probabilitats \( (0.95)^8 \) i \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \aprox. 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Finalment, multiplica tots aquests valors per obtenir:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 aproximadament 0.0744
\]
Per tant, la probabilitat que exactament 8 de cada 10 components superin la prova de qualitat és d'aproximadament 0.0744 o 7.44%.
Exemple de pregunta 2: Probabilitat acumulada
Pregunta:
Encara amb la mateixa empresa, calcula la probabilitat que almenys 9 de cada 10 components superin la prova de qualitat.
Discussió:
Per resoldre aquest problema, cal calcular la probabilitat acumulada. La probabilitat que almenys 9 de cada 10 components superin la prova significa que calculem \( P(X \geq 9) \), que es pot escriure com:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Utilitzant la fórmula de la distribució binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Primer, calcula la combinació per a cada cas:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
A continuació, calcula les probabilitats per a \( P(X = 9) \) i \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \aprox. 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 aproximadament 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \approx 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Probabilitat total per a \(P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≤ 0.9138
\]
Per tant, la probabilitat que almenys 9 de cada 10 components superin la prova de qualitat és d'aproximadament 0.9138 o 91.38%.
Exemple de pregunta 3: Valor esperat i variància
Pregunta:
Calcula el valor esperat i la variància del nombre de components que passen la prova de qualitat de 10 components produïts, amb una probabilitat d'aprovació de 0.95.
Discussió:
Utilitzeu la fórmula següent:
– Valor esperat (mitjana) (μ = np)
– Variància \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Amb (n = 10) i (p = 0.95):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Així doncs, el valor esperat del nombre de components que passen la prova de qualitat és de 9.5 i la variància és de 0.475.
Conclusió
A través dels tres exemples de problemes anteriors, hem discutit com calcular la probabilitat utilitzant la distribució binomial per a diverses situacions: calcular la probabilitat exacta, la probabilitat acumulada i calcular el valor esperat i la variància. El coneixement de la distribució binomial és útil en diversos camps, com ara la indústria manufacturera, la recerca mèdica i l'estadística social, on es poden analitzar els resultats d'experiments repetits amb dos resultats possibles per ajudar a la presa de decisions. Esperem que els exemples de problemes i les discussions proporcionades us ajudin a comprendre millor la distribució binomial.
