Exemples de preguntes sobre sèries aritmètiques
Les seqüències aritmètiques són un concepte fonamental en matemàtiques que apareix amb freqüència en diversos problemes, tant a l'escola secundària com a l'educació superior. Aquest concepte implica una seqüència de nombres on cada terme és el resultat de sumar o restar un nombre constant del terme anterior. En aquest article, discutirem diversos problemes d'exemple i les seves solucions per entendre millor el concepte de seqüències aritmètiques.
Comprensió de les sèries aritmètiques
Una sèrie aritmètica és una sèrie que té una diferència (diferència) constant entre dos termes consecutius. Per exemple, si una sèrie aritmètica té el primer terme \(a\) i la diferència \(d\), aleshores els termes es poden escriure de la següent manera:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...]
Si volem trobar el terme enèssim d'aquesta sèrie, la fórmula per al terme enèssim (\(U_n\)) és:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Mentrestant, la suma dels primers n termes d'una sèrie aritmètica (\(S_n\)) es pot calcular mitjançant la fórmula:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Exemples de preguntes i debat
Exemple de pregunta 1
Pregunta: Donada una sèrie aritmètica amb el primer terme \(a = 5\) i la diferència comuna \(d = 3\). Trobeu el desè terme de la sèrie.
Discussió:
Per trobar el desè terme (\(U_{10}\)), podem utilitzar la fórmula del terme n:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Per tant, el desè terme de la sèrie és 32.
Exemple de pregunta 2
Pregunta: Trobeu la suma dels primers 15 termes de la sèrie aritmètica el primer terme de la qual és \(a = 4\) i la diferència comuna és \(d = 7\).
Discussió:
Per trobar la suma dels primers 15 termes (\(S_{15}\)), podem utilitzar la fórmula per a la suma dels primers n termes:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Així doncs, la suma dels primers 15 termes de la sèrie és 795.
Exemple de pregunta 3
Pregunta: Se sap que el 5è terme d'una sèrie aritmètica és 20 i el 12è terme és 48. Trobeu el primer terme (\(a\)) i la diferència comuna (\(d\)) de la sèrie.
Discussió:
A partir de les condicions donades:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Tenim dues equacions lineals amb dues variables que podem resoldre:
1. (a + 4d = 20)
2. (a + 11d = 48)
A partir de l'equació 1, podem expressar \(a\) en termes de \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Ara substituïm \(a\) a l'equació 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Ara substituïm el valor de \(d\) a l'equació \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Així doncs, el primer terme de la sèrie és 4 i la diferència comuna és 4.
Exemple de pregunta 4
Pregunta: Quants termes es necessiten perquè una sèrie aritmètica amb el primer terme \(a = 2\) i la diferència comuna \(d = 5\) sumin 200?
Discussió:
En aquest cas, necessitem trobar la suma dels primers n termes (\(S_n\)) que sigui igual a 200. Utilitzeu la fórmula per a la suma dels primers n termes:
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200
Substituïm els valors de \(a\) i \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400 \]
Aquesta és una equació de segon grau. Per resoldre-la, en canviem la forma:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Utilitza la fórmula quadràtica \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
En aquest cas, \(a = 5\), \(b = -1\) i \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
El valor de \(\sqrt{8001}\) és proper a 89.42, aleshores:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Prenem els valors positius:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \aprox \frac{90.42}{10} \]
\[ n \aprox. 9.042 \]
Per tant, el nombre de termes necessaris és de 9 termes (si s'arrodoneix).
Conclusió
Les seqüències aritmètiques són un tema crucial en matemàtiques. Una comprensió completa del primer terme, la diferència comuna, l'enèsim terme i la suma dels primers n termes és inestimable per resoldre una àmplia varietat de problemes. Mitjançant l'ús dels exemples i les discussions anteriors, s'espera que els lectors obtinguin una millor comprensió dels conceptes bàsics de les seqüències aritmètiques.
