Exemples de preguntes sobre seqüències aritmètiques
Les seqüències aritmètiques són un concepte fonamental de les matemàtiques que apareix amb freqüència en diversos exàmens i aplicacions del món real. Una seqüència aritmètica és una seqüència de nombres amb una diferència constant entre cada dos termes consecutius. En aquest article, explorarem el concepte de seqüències aritmètiques amb més profunditat a través de diversos problemes d'exemple acompanyats d'explicacions completes.
Definicions i notacions
Abans d'entrar en els problemes d'exemple, és important entendre la notació que s'utilitza sovint en les seqüències aritmètiques. Si \(a\) és el primer terme i \(d\) és la diferència comuna (diferència constant), aleshores la seqüència aritmètica es pot escriure com:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n-1) d \]
El terme n-èsim (Un) d'aquesta seqüència es pot formular com:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
A continuació es mostren diversos exemples de preguntes i les seves explicacions per facilitar la comprensió de les seqüències aritmètiques.
Exemple de pregunta 1
Pregunta:
Donada una seqüència aritmètica amb el primer terme \(a = 5\) i la diferència comuna \(d = 3\). Determina el desè terme de la seqüència.
Discussió:
Utilitzant la fórmula general per al terme n-èsim, és a dir, \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Per tant, el 10è terme de la seqüència és 32.
Exemple de pregunta 2
Pregunta:
Donada una seqüència aritmètica amb el cinquè terme 20 i el vuitè terme 35. Determina el primer terme ∫(a) i la diferència comuna ∫(d) de la seqüència.
Discussió:
De la pregunta, sabem:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Resteu ambdues equacions per eliminar \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Ara substituïm \(d = 5\) per trobar \(a\):
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Així doncs, el primer terme de la seqüència és 0 i la diferència és 5.
Exemple de pregunta 3
Pregunta:
Quina és la suma dels primers 20 termes d'una seqüència aritmètica el primer terme de la qual és \(a = 2\) i la diferència comuna \(d = 4\)?
Discussió:
La suma dels primers n termes d'una seqüència aritmètica es pot calcular mitjançant la fórmula:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Per a aquesta línia:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 ( 4 + 76 ) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Així doncs, la suma dels primers 20 termes de la seqüència és 800.
Exemple de pregunta 4
Pregunta:
El tercer terme d'una seqüència aritmètica és 15 i el setè terme és 27. Troba el dotzè terme de la seqüència.
Discussió:
Primer, hem de trobar els valors \(a\) i \(d\). A partir de la pregunta, sabem:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Resteu ambdues equacions per eliminar \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Ara substituïm \(d = 3\) per trobar \(a\):
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Utilitzant la fórmula del terme n per trobar el terme dotzè:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Per tant, el 12è terme de la seqüència és 42.
Exemple de pregunta 5
Pregunta:
Una seqüència aritmètica amb un primer terme \(a\) i una diferència comuna \(d\) té una suma dels primers 10 termes, és a dir, 55. Si \(d = 1\), determineu el primer terme \(a\).
Discussió:
Donat \(d = 1\) i \(S_{10} = 55\). Utilitzeu la fórmula per a la suma dels primers termes:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Per a n = 10:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Per tant, el primer terme de la seqüència és 1.
Conclusió
Les seqüències aritmètiques són un concepte fonamental de les matemàtiques que són extremadament útils en diversos camps. En aquest article, hem tractat diversos exemples de seqüències aritmètiques i les seves solucions. Una bona comprensió de les fórmules i les propietats bàsiques de les seqüències aritmètiques serà molt útil per resoldre diversos tipus de problemes relacionats amb aquest tema.
Practicant exemples com els anteriors, s'espera que us tornareu més competents i ràpids a l'hora de resoldre problemes que impliquen seqüències aritmètiques.
