Exemples de preguntes que tracten la regla per sumar dos esdeveniments exclusius A i B
En teoria de la probabilitat, la regla de la suma de dos esdeveniments és un dels principis fonamentals que s'utilitzen per calcular la probabilitat de múltiples esdeveniments. Aquest concepte s'aplica sovint en diverses situacions per entendre els possibles resultats de certs esdeveniments. En aquest article, parlarem de la regla de la suma de dos esdeveniments mútuament excloents i proporcionarem exemples per aclarir aquest concepte.
La regla de la suma de dos esdeveniments mútuament excloents
En primer lloc, és important entendre què s'entén per esdeveniments mútuament excloents. Es diu que dos esdeveniments són disjunts o mútuament excloents si no poden ocórrer alhora. En altres paraules, cap element del conjunt d'un esdeveniment és també un element del conjunt d'un altre esdeveniment.
La regla de la suma en probabilitat estableix que si dos esdeveniments \(A\) i \(B\) són mútuament excloents, aleshores la probabilitat de l'esdeveniment \(A\) o \(B\) és la suma de les probabilitats dels dos esdeveniments. Matemàticament, aquesta regla es pot expressar com:
P(A ∫B) = P(A) + P(B)
on \(P(A \cup B)\) és la probabilitat de \(A\) o \(B\), \(P(A)\) és la probabilitat de l'esdeveniment \(A\) i \(P(B)\) és la probabilitat de l'esdeveniment \(B\).
Exemples de preguntes de debat
Vegem alguns exemples per aclarir l'aplicació de la regla per afegir dos esdeveniments mútuament excloents.
Exemple de pregunta 1
Pregunta:
Es llança un dau de sis cares una vegada. Troba la probabilitat que el nombre resultant sigui 2 o 4.
Discussió:
Podem definir l'esdeveniment \(A\) com l'ocurrència del valor 2, i l'esdeveniment \(B\) com l'ocurrència del valor 4. Així:
– \(P(A)\) és la probabilitat que aparegui el valor 2.
– \(P(B)\) és la probabilitat que aparegui el valor 4.
Com que un dau té sis cares igualment probables, la probabilitat que surti un valor concret és \( \frac{1}{6} \). Per tant:
P(A) = 1/6
P(B) = 1/6
Els esdeveniments \(A\) i \(B\) són mútuament excloents perquè els valors 2 i 4 no poden aparèixer simultàniament en una sola tirada de dau. Per tant, utilitzant la regla de la suma per a dos esdeveniments mútuament excloents:
P(A ∫B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Per tant, la probabilitat que el valor que apareix sigui 2 o 4 és \( \frac{1}{3} \) o aproximadament el 33.33%.
Exemple de pregunta 2
Pregunta:
En una bossa hi ha 10 boles, 4 vermelles i 6 blaves. Si agafem una bola a l'atzar, quina és la probabilitat que la bola extreta sigui vermella o blava?
Discussió:
Podem definir l'esdeveniment \(A\) com agafar la pilota vermella i l'esdeveniment \(B\) com agafar la pilota blava. Així:
– \(P(A)\) és la probabilitat d'agafar una bola vermella.
– \(P(B)\) és la probabilitat d'agafar una bola blava.
La probabilitat de cada esdeveniment es pot calcular de la següent manera:
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de boles vermelles}}{\text{Nombre total de boles}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Nombre de boles blaves}}{\text{Nombre total de boles}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Els esdeveniments \(A\) i \(B\) són mútuament excloents perquè una pilota no pot ser vermella i blava alhora. Per tant, utilitzant la regla de la suma per a dos esdeveniments mútuament excloents:
P(A ∫B) = P(A) + P(B) = 2/5 + 3/5 = 1
Per tant, la probabilitat que la bola extreta sigui vermella o blava és d'1, o 100%. Això té sentit perquè totes les boles de la bossa són vermelles o blaves.
Exemple de pregunta 3
Pregunta:
En una classe de 20 estudiants, a 7 dels quals els agraden les matemàtiques, a 5 els agraden les ciències i cap a qui li agradin totes dues. Si es tria un estudiant a l'atzar, trobeu la probabilitat que a aquest estudiant li agradin les matemàtiques o les ciències.
Discussió:
Podem definir l'esdeveniment \(A\) com a gust per les matemàtiques, i l'esdeveniment \(B\) com a gust per la ciència. Així:
– \(P(A)\) és la probabilitat que a un estudiant li agradin les matemàtiques.
– \(P(B)\) és la probabilitat que a un estudiant li agradin les ciències.
La probabilitat de cada esdeveniment es pot calcular de la següent manera:
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre d'estudiants a qui els agraden les matemàtiques}}{\text{Nombre total d'estudiants}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Nombre d'estudiants a qui els agrada la ciència}}{\text{Nombre total d'estudiants}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Els esdeveniments \(A\) i \(B\) són mútuament excloents perquè a cap estudiant li agraden tots dos. Per tant, utilitzant la regla de la suma per a dos esdeveniments mútuament excloents:
P(A ∫B) = P(A) + P(B) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 3/5
Així doncs, la probabilitat que a un estudiant seleccionat a l'atzar li agradin les matemàtiques o les ciències és \( \frac{3}{5} \) o el 60%.
Conclusió
La regla de la suma de dos esdeveniments mútuament excloents és un concepte fonamental en la teoria de la probabilitat que facilita el càlcul de la probabilitat d'un esdeveniment conjunt. En els exemples anteriors, hem vist que aquest principi es pot aplicar a situacions del món real com ara llançar daus, treure boles d'una bossa o seleccionar estudiants d'una classe. En comprendre i dominar aquest concepte, podem calcular de manera més eficaç les probabilitats de diversos esdeveniments mútuament excloents de la vida quotidiana.
