Moment inercije čestica – problemi i rješenja

Moment inercije čestica – problemi i rješenja

1. Dvije kugle povezane štapom, kao što je prikazano na slici ispod. Zanemarite štapove MasaMasa kugle P je 600 grama, a masa kugle Q je 400 grama. Šta je moment inercije sistema o AB?

Poznato:

Osa rotacije je AB.

m_p = 600 grama = 0.6 kg, m_q = 400 grama = 0.4 kg

r_p = 20 cm = 0.2 m, r_q = 50 cm = 0.5 m

Traži se: Moment inercije sistema

Rešenje:

I = m_p r_p² +m_q r_q²

I = (0.6 kg)(0.2 m)² + (0.4 kg)(0.5 m)²

I = (0.6 kg)(0.04 m²) + (0.4 kg)(0.25 m²)

I = 0.024 kg m² + 0.1 kg m²

I = 0.124 kg m²

2. Štap AB mase 2 kg rotira oko tačke A, moment inercije štapa je 8 kg m²Ako se rotira oko tačke O (AO = OB), koji je moment inercije štapa?

Poznato:

Masa štapa AB (m) = 2 kg

Ako se rotira oko tačke A tako da je poluprečnik rotacije (r) = dužina AB = r, tada je moment inercije (I) = 8 kg m²

Wanted: Ako se rotira oko tačke O tako da je poluprečnik rotacije (r) = dužina AO = dužina OB = 1/2 r, koliki je onda moment inercije štapa?

Rešenje:

Ja = Gospodin²

8 kg m² = (2 kg) r²

8 m² = (2) r²

r² = 8 m² / 2

r² = 4 m²

r = 2 metra

Ako se rotira oko tačke O tako da je ½ r = 1 metar, tada je moment inercije:

Ja = Gospodin² = (2 kg)(1 m)² = (2 kg)(1 m²) = 2 kg m²

3. Dvije kugle povezane štapom kao što je prikazano na slici ispod. Zanemarite masu štapa. Koji je moment inercije sistema?

Poznato:

Masa kugle A (m_A) = 200 grama = 0.2 kg

Masa kugle B (m_B) = 400 grama = 0.4 kg

Udaljenost između kugle A i ose rotacije (r_A) = 0

Udaljenost između kugle B i ose rotacije (r_B) = 25 cm = 0.25 m

Traži se: Moment inercije sistema

Rešenje:

Moment inercije kugle A:

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(0)² = 0

Moment inercije kugle B:

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m²

Moment inercije sistema:

Ja = ja_A + I_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² = 25 x 10^-3 kg m²

4. Četiri čestice sa različitim masama, prikazane na slici ispod. Odredite moment inercije sistema oko horizontalne linije P.

rastvor

Osa rotacije je horizontalna linija P.

Poznato:

Masa čestice A (m_A) = m

Masa čestice B (m_B) = 2 m

Masa čestice C (m_C) = 3 m

Prolaz čestice D (m_D) = 4 m

Udaljenost između čestice A i ose rotacije (r_A) = b

Udaljenost između čestice B i ose rotacije (r_B) = b

Udaljenost između čestice C i ose rotacije (r_C) = 2b

Udaljenost između čestice D i ose rotacije (r_D) = 2b

Traži se: Moment inercije sistema oko horizontalne linije P

Rešenje:

I = m_A r_A² +m_B r_B² +m_C r_C² +m_D r_D²

I = (m)(b)² + (2m)(b)² + (3m)(2b)² + (4m)(2b)²

I = mb² + 2 MB² + (3m)(4b²) + (4m)(4b²)

I = mb² + 2 MB² + 12 MB² + 16 MB²

I = 31 mb²

5. Četiri čestice povezane štapom. Zanemarite masu štapa. Odredite moment inercije oko ose rotacije kroz česticu m₁ i m₂, kao što je prikazano na slici ispod.

Poznat

Masa čestice 1 (m₁) = 1/4 kg

Masa čestice 2 (m₂) = 1/2 kg

Masa čestice 3 (m₃) = 1/4 kg

Masa čestice 4 (m₄) = 1/4 kg

Udaljenost između čestice 1 i ose rotacije (r₁) = 0

Udaljenost između čestice 2 i ose rotacije (r₂) = 0

Udaljenost između čestice 3 i ose rotacije (r₃) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Udaljenost između čestice 4 i ose rotacije (r₄) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Traži se: Trenutak inercije

Rešenje:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (1/4)(0)² + (1/2)(0)² + (1/4)(1/10)² + (1/4)(1/10)²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 kg·m²

1. Koliki je moment inercije čestice?
   • odgovorZa jednu česticu mase $m$ na daljinu $r$ od ose rotacije, njenog momenta inercije $I$ daje se I=m×r².
2. Zašto se moment inercije često naziva "rotacijskim analogom" mase?
   • odgovorKao što je masa mjera otpora objekta promjenama u njegovom translacionom kretanju (zbog drugog Newtonovog zakona), moment inercije je mjera otpora objekta promjenama u njegovom rotacijskom kretanju.
3. Kako promjena udaljenosti čestice od njene ose rotacije utiče na njen moment inercije?
   • odgovorMoment inercije je proporcionalan kvadratu udaljenosti od ose rotacije. Ako udvostručite udaljenost, moment inercije će se povećati četiri puta.
4. Zašto je kvadrat udaljenosti (r²) koristi se u formuli za moment inercije umjesto samo za udaljenost?
   • odgovorKvadrat udaljenosti se koristi zbog načina na koji funkcionira kinetička energija pri rotaciji. Pri rotacijskom kretanju, svaka čestica objekta doprinosi kinetičkoj energiji rotacije na osnovu svoje mase i kvadrata udaljenosti od ose.
5. Kako se mijenja moment inercije čestice ako se njena masa utrostruči, a udaljenost od ose ostane konstantna?
   • odgovorAko se masa utrostruči, a udaljenost ostane konstantna, moment inercije će se također utrostručiti jer je direktno proporcionalan masi.
6. Može li čestica imati moment inercije jednak nuli? Ako može, pod kojim uslovom?
   • odgovorDa, čestica će imati moment inercije jednak nuli ako se nalazi direktno na osi rotacije, što znači da je njena udaljenost $r$ od ose jednake nuli.
7. Zašto različiti objekti iste mase i veličine imaju različite momente inercije pri rotaciji oko različitih osa?
   • odgovorRaspodjela mase oko ose rotacije određuje moment inercije. Čak i ako dva objekta imaju istu masu i veličinu, njihova raspodjela mase u odnosu na osu rotacije može se razlikovati, što dovodi do različitih momenata inercije.
8. Je li moment inercije skalarna ili vektorska veličina?
   • odgovorMoment inercije je skalarna veličina. Međutim, za kruta tijela složenih oblika i više osa rotacije, predstavljen je tenzorom.
9. Ako su dvije čestice, svaka od kojih je mase $m$, nalaze se na udaljenostima r_1​ i r₂​ od ose rotacije, koji je kombinovani moment inercije?
   • odgovorMoment inercije je aditivan za odvojene čestice. Dakle, kombinovani moment inercije I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Kakva je veza između momenta inercije i očuvanja ugaonog momenta?

    • odgovorUgaoni moment $L$ je proizvod momenta inercije $I$ i ugaona brzina $\omega$, predstavljeno jednačinom $L=I\times \omega$Ako na sistem ne djeluju vanjski momenti, ugaoni moment će ostati konstantan. To znači da ako se moment inercije promijeni (kao kod klizača koji povlači ruke), ugaona brzina se mora prilagoditi kako bi proizvod ostao konstantan.