Primjer pitanja za diskusiju o derivaciji algebarske funkcije
Derivacija u diferencijalnoj analizi je fundamentalni koncept koji se koristi za opisivanje promjene funkcije ili nagiba funkcije u datoj tački. Derivacije su korisne u raznim oblastima kao što su fizika, ekonomija i inženjerstvo jer pružaju informacije o brzini promjene. U ovom članku ćemo razmotriti nekoliko primjera derivacija algebarskih funkcija i kako ih riješiti.
Primjer 1: Izvod polinomske funkcije
Pitanje: Data je funkcija \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Odredite izvod funkcije!
Rješenje:
Koristeći osnovno pravilo izvoda za polinomske funkcije, naime \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), izračunat ćemo izvod svakog člana funkcije jedan po jedan.
\[
\begin{poravnaj}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7)
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{poravnaj}
\]
Dakle, izvod funkcije \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) je \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Primjer 2: Izvod funkcije s razlomljenim eksponentima
Pitanje: Odrediti izvod funkcije \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Rješenje:
Koristeći isto pravilo derivacije, to jest \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{poravnaj}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1}
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{poravnaj}
\]
Dakle, izvod od \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) je \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Primjer 3: Izvodi eksponencijalnih i trigonometrijskih funkcija
Pitanje: Odrediti izvod funkcije (h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Rješenje:
Da bismo riješili ovaj izvod, potrebno nam je pravilo produkta, koje glasi \((uv)' = u'v + uv'\). Pretpostavimo da je \( u(x) = e^x \) i \( v(x) = \sin(x) \), tada:
\[
\begin{poravnaj}
u'(x) &= e^x, & \text{jer je izvod od } e^x \text{ } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{jer je izvod od } \sin(x) \text{ jednak } \cos(x).
\end{poravnaj}
\]
Korištenje izvedenog pravila za proizvode:
\[
\begin{poravnaj}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x(\cos(x) + \sin(x)).
\end{poravnaj}
\]
Dakle, derivacija od \( h(x) = e^x \sin(x) \) je \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Primjer 4: Izvod funkcije korištenjem lančanog pravila
Pitanje: Odredite izvod funkcije \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Rješenje:
Da bismo riješili ovaj izvod, potrebno nam je pravilo lanca, naime \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Pretpostavimo da je \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) i \( f(u) = u^5 \), tada:
\[
\begin{poravnaj}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{poravnaj}
\]
Korištenje pravila lanca:
\[
\begin{poravnaj}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{poravnaj}
\]
Dakle, izvod funkcije \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) je \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Primjer 5: Izvod funkcije s trigonometrijskim identitetima
Pitanje: Odrediti izvod funkcije (m(x) = sin(x) cos(x)).
Rješenje:
Koristit ćemo pravilo izvođenja za proizvode. Pretpostavimo \( u(x) = \sin(x) \) i \( v(x) = \cos(x) \), tada:
\[
\begin{poravnaj}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) & = -\sin(x).
\end{poravnaj}
\]
Korištenje izvedenog pravila za proizvode:
\[
\begin{poravnaj}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= ∫cos(x)∑∑x + ∫sin(x)∑(-∫sin(x))
&= ∫cos²(x) – ∫sin²(x).
\end{poravnaj}
\]
Koristeći trigonometrijski identitet \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Dakle, derivacija od \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) je \( m'(x) = \cos(2x) \).
Zaključak
Izvod algebarske funkcije je fundamentalni koncept u računu koji je veoma važan i koristan u raznim primjenama. Različita pravila izvođenja, kao što su osnovno pravilo izvođenja, pravilo proizvoda, pravilo lanca i pravila za trigonometrijske derivate, pomažu u izračunavanju derivata složenijih funkcija. Razumijevanjem gornjih primjera i vježbanjem problema, možemo poboljšati svoje razumijevanje i vještine u uzimanju derivata algebarskih funkcija.
