Primjeri pitanja o kvartilima grupiranih podataka
Pendahuluan
Kvartili u statistici su mjera centralne tendencije koja dijeli podatke na četiri jednaka dijela. Kvartili se sastoje od prvog kvartila (Q1), drugog kvartila (Q2) i trećeg kvartila (Q3). U mnogim slučajevima, podaci koji se analiziraju mogu se grupirati. Ovaj članak će razmotriti primjere i diskusiju o kvartilima za grupirane podatke.
Razumijevanje kvartila u grupnim podacima
Kvartili su vrijednosti koje dijele organizirane podatke na četiri jednaka dijela. Prvi kvartil (Q1) poznat je kao 25. percentil, drugi kvartil (Q2) poznat je i kao medijana ili 50. percentil, a treći kvartil (Q3) poznat je kao 75. percentil.
Za grupirane podatke, izračunavanje kvartila je malo složenije nego za pojedinačne podatke. Grupirani podaci se obično prikazuju u tabeli distribucije frekvencija, tako da moramo koristiti određenu formulu za pronalaženje kvartila.
Kvartilna formula za grupirane podatke
Da bismo pronašli kvartile u grupiranim podacima, koristimo sljedeću formulu:
– Prvi kvartil (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + ( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \desno) \puta c
\]
– Drugi kvartil (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + ( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \desno) \puta c
\]
– Treći kvartil (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + ( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \desno) \puta c
\]
Gdje:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = donja granica klase Q1, Q2, Q3
– \( N \) = broj podataka
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = kumulativna frekvencija prije klase Q1, Q2, Q3
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = frekvencije klasa Q1, Q2, Q3
– \( c \) = dužina razreda
Primjer problema
Slijedeći primjer je problem grupnih podataka koji će se koristiti za izračunavanje kvartila:
| Vrijednost | Učestalost |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
Korak 1: Određivanje kumulativne frekvencije
Prije svega, moramo odrediti kumulativnu frekvenciju za svaku klasu:
| Vrijednost | Učestalost | Kumulativna učestalost |
|————|————–|————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
Broj podataka (N) = 50
Korak 2: Određivanje prvog kvartila (Q1)
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Tražimo klasu u kojoj kumulativna frekvencija prvi put prelazi 12.5, naime klasu 20 – 29.
– L (donja granica klase Q1) = 20
– F (kumulativna frekvencija prije klase Q1) = 5
– f (frekvencija klase Q1) = 8
– c (dužina nastave) = 10
Korištenje formule Q1:
\[
Q1 = 20 + (12.5 – 5/8) puta 10 = 20 + (7.5/8) puta 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
Korak 3: Određivanje drugog kvartila (Q2)
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Tražimo klasu u kojoj kumulativna frekvencija prvi put prelazi 25, naime klasu 30 – 39.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Korištenje formule Q2:
\[
Q2 = 30 + (25 – 13/12) puta 10 = 30 + (12/12) puta 10 = 30 + 10 = 40
\]
Korak 4: Određivanje trećeg kvartila (Q3)
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \puta 50}{4} = 37.5 \)
Tražimo klasu u kojoj kumulativna frekvencija prvi put prelazi 37.5, naime klasu 40 – 49.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Korištenje formule Q3:
\[
Q3 = 40 + (37.5 – 25,15) puta 10 = 40 + (12.5 = 15) puta 10 = 40 + 8.333 približno 48.333
\]
Zaključak
Iz gore navedenih proračuna dobijamo vrijednosti kvartila za grupne podatke na sljedeći način:
– Prvi kvartil (Q1) = 29.375
– Drugi kvartil (Q2) = 40
– Treći kvartil (Q3) = 48.333
Ove vrijednosti nam omogućavaju da shvatimo kako su podaci raspoređeni unutar grupe. Na primjer, 25% podataka pada ispod 29.375 (Q1), 50% podataka pada ispod 40 (medijana ili Q2), a 75% podataka pada ispod 48.333 (Q3).
Kvartilni izračuni su korisni u raznim situacijama kako bi se steklo dublje razumijevanje distribucije podataka. Razumijevanje ove metode nam omogućava da preciznije i efikasnije analiziramo grupisane podatke.
