Primjer pitanja za diskusiju o kružnim lukovima
U geometriji, krug je ravna figura s mnogo zanimljivih koncepata za proučavanje, od kojih je jedan luk. Luk je dio ruba kruga koji se nalazi između dvije tačke na krugu. U ovom članku ćemo istražiti različite primjere problema i njihova rješenja vezana za lukove.
Osnovno razumijevanje kružnih lukova
Prije nego što pređemo na primjere pitanja, važno je prvo razumjeti neke osnovne koncepte:
1. Krug:
Krug je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od datog centra.
2. Radijus (prsti):
Poluprečnik je udaljenost od centra kruga do bilo koje tačke na ivici kruga.
3. Prečnik:
Prečnik je najduža udaljenost od jedne tačke na ivici kruga do druge tačke na suprotnoj strani kroz centar. Prečnik je dvostruko veći od poluprečnika.
4. Luk:
Luk je dio ivice kruga. Ako tačke A i B leže na ivici kruga, onda je luk AB dio kruga između A i B.
Formule povezane s kružnim lukovima
Da bismo izmjerili dužinu luka, moramo razumjeti nekoliko formula:
1. Dužina luka (L):
Dužina kružnog luka je dužina ivice kruga koja uključuje luk. Formula je:
\[
L = r puta θ
\]
gdje je \( r \) poluprečnik kruga, a \( \theta \) centralni ugao u radijanima koji siječe luk.
2. Dužina luka u stepenima:
Ako je centralni ugao izražen u stepenima, koristimo formulu:
\[
L = θ360° x 2π r
\]
gdje je \( \theta \) centralni ugao u stepenima.
Primjeri pitanja i diskusija
Pitanje 1: Izračunavanje dužine luka
Pitanja:
Krug ima poluprečnik od 10 cm. Izračunajte dužinu luka naslonjenog na centralni ugao od 60 stepeni.
Diskusija:
– Poluprečnik kruga (\( r \)) = 10 cm
– Centralni ugao (\( \theta \)) = 60°
Koristeći formulu za dužinu luka u stepenima:
\[
L = θ360° x 2πr
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \puta 2 \pi \puta 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{1}{6} \puta 2 \pi \puta 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{ cm}
\]
\[
L \približno 10.47 \text{ cm}
\]
Dakle, dužina luka je oko 10.47 cm.
Pitanje 2: Određivanje centralnog ugla iz dužine luka
Pitanja:
Dat je krug poluprečnika 14 cm koji ima dužinu luka od 22 cm. Odredite centralni ugao koji siječe luk u stepenima.
Diskusija:
– Poluprečnik kruga (\( r \)) = 14 cm
– Dužina luka (\( L \)) = 22 cm
Koristite formulu za dužinu luka da biste pronašli \( \theta \):
\[
L = θ360° x 2πr
\]
Zamijenite poznate vrijednosti:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2 \pi \puta 14
\]
Izolacija \( \theta \):
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 28 \pi
\]
\[
22 puta 360^\circ = \theta puta 28 \pi
\]
\[
7920 = θ puta 28 π
\]
\[
θ = 7920 28 pi
\]
\[
\theta \približno 90.72^\circ
\]
Dakle, veličina centralnog ugla je oko 90.72 stepena.
Pitanje 3: Izračunavanje površine sektora
Pitanja:
Isječak kruga formiran je centralnim uglom od 120 stepeni sa poluprečnikom od 7 cm. Odredite površinu isječka.
Diskusija:
– Poluprečnik kruga (\( r \)) = 7 cm
– Centralni ugao (\( \theta \)) = 120°
Koristite formulu za površinu sektora:
\[
A = θ360° x π r²
\]
Zamijenite poznate vrijednosti:
\[
A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \puta \pi \puta 7^2
\]
\[
A = \frac{1}{3} \puta \pi \puta 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \približno 51.43 \text{ cm}^2
\]
Dakle, površina sektora je približno 51.43 cm².
Pitanje 4: Određivanje luka iz površine sektora
Pitanja:
Površina isječka kruga poluprečnika 6 cm je 18π cm². Kolika je dužina luka tog isječka?
Diskusija:
– Poluprečnik kruga (\( r \)) = 6 cm
– Površina sektora (\( A \)) = 18π cm²
Koristite formulu za površinu isječka da biste pronašli centralni ugao \( \theta \):
\[
A = θ360° x π r²
\]
Zamijenite poznate vrijednosti:
\[
18\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta 6^2
\]
\[
18π = θ360° puta 36π
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 36
\]
\[
18 puta 360^\circ = \theta puta 36
\]
\[
6480 = θ puta 36
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
θ = 180°
\]
Sada, sa centralnim uglom od 180 stepeni, određujemo dužinu luka:
\[
L = θ360° x 2πr
\]
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \puta 2 \pi \puta 6
\]
\[
L = 1/2 puta 2 pi puta 6
\]
\[
L = π puta 6
\]
\[
L \približno 18.85 \text{ cm}
\]
Dakle, dužina luka je oko 18.85 cm.
Zaključak
Razumijevanje kružnih lukova i načina njihovog izračunavanja je ključna osnova geometrije i matematike općenito. Kroz primjere razmatrane u ovom članku, od čitatelja se očekuje da bolje razumiju kako izračunati dužinu luka, površinu isječka i odrediti centralni ugao koji siječe luk. Dobro razumijevanje ovih osnovnih koncepata bit će vrlo korisno u rješavanju različitih problema koji uključuju krugove.
