পরিসংখ্যানে ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা

পরিসংখ্যানে ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা

পরিসংখ্যান হলো গণিতের একটি শাখা যা উপাত্ত সংগ্রহ, বিশ্লেষণ, ব্যাখ্যা এবং উপস্থাপন নিয়ে কাজ করে। উপাত্ত-নির্ভর সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য বিভিন্ন ক্ষেত্রে পরিসংখ্যান ব্যবহৃত হয়। পরিসংখ্যানে প্রায়শই ব্যবহৃত একটি কৌশল হলো ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা (যা ম্যান-হুইটনি ইউ পরীক্ষা বা উইলকক্সন র‍্যাঙ্ক-সাম পরীক্ষা নামেও পরিচিত)। এটি একটি নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি যা দুটি জোড়াবিহীন দলের মধ্যে কোনো তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্য আছে কিনা তা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষার পরিচিতি

টি-টেস্টের একটি নন-প্যারামেট্রিক বিকল্প হিসেবে ১৯৪৭ সালে হেনরি ম্যান এবং ডোনাল্ড হুইটনি ম্যান-হুইটনি টেস্ট প্রবর্তন করেন। এই পদ্ধতিতে ডেটা স্বাভাবিকতার অনুমানের প্রয়োজন হয় না। তাই, যখন ডেটা স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে না অথবা যখন স্বাভাবিকতার অনুমান যাচাই করার জন্য নমুনার আকার খুব ছোট হয়, তখন এটি বিশেষভাবে উপযোগী।

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষার মৌলিক নীতিমালা

দুটি দলের মধ্যক তুলনা করার জন্য ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়। এর মূল নীতিটি হলো:

১. পর্যবেক্ষণের ক্রমবিন্যাস: উভয় গ্রুপের সমস্ত ডেটা একত্রিত করে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজানো হয়। যদি অভিন্ন মান থাকে, তবে প্রতিটি পর্যবেক্ষণকে তার সঠিক র‍্যাঙ্কের গড় দ্বারা স্থান দেওয়া হয়।

২. পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার গণনা: প্রতিটি গ্রুপের র‍্যাঙ্কের যোগফলের উপর ভিত্তি করে পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার মান (U) গণনা করা হয়। এটি গণনা করার দুটি উপায় রয়েছে: একটি প্রথম গ্রুপ থেকে শুরু করে এবং অন্যটি দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে।

– U-এর সাধারণ সূত্রটি হলো:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
অথবা
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
কোথায়:
– \(n_1\) এবং \(n_2\) হলো প্রতিটি গ্রুপের পর্যবেক্ষণের সংখ্যা,
– \(R_1\) এবং \(R_2\) হলো প্রতিটি গ্রুপের র‍্যাঙ্ক সংখ্যা।

৩. তাৎপর্য পরীক্ষা: পি-ভ্যালু (p-value) নির্ধারণের জন্য তাৎপর্য পরীক্ষা করা হয়। নমুনার আকার বড় হলে, ইউ ডিস্ট্রিবিউশনকে (U distribution) একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (normal distribution) দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে।

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষার অনুমান

যদিও ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা একটি নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা এবং এর জন্য স্বাভাবিক বণ্টনের অনুমানের প্রয়োজন হয় না, তবুও এর ফলাফলের বৈধতার জন্য কয়েকটি সম্পর্কিত অনুমান অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

১. স্বাধীনতা: উভয় দলের প্রতিটি পর্যবেক্ষণ অবশ্যই একে অপরের থেকে স্বাধীন হতে হবে।
২. অর্ডিনাল বা ইন্টারভাল স্কেল: ডেটা অবশ্যই অর্ডিনাল বা ইন্টারভাল স্কেলে হতে হবে। এর মানে হলো, ডেটা সাজানো যায় এবং এতে ক্রমবিন্যাসের তথ্য থাকে।
৩. বন্টন পরিসর: উভয় দলের বন্টনের আকৃতি অবশ্যই একই হতে হবে (যদিও মধ্যক ভিন্ন হতে পারে)।

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা সম্পাদনের ধাপসমূহ

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষাটি করার জন্য সাধারণত নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করা হয়:

১. ডেটা একত্রিত ও সাজানো: উভয় গ্রুপের ডেটা একত্রিত করুন এবং সেগুলোকে সামগ্রিকভাবে সাজান। গড় মানের সাথে র‍্যাঙ্কের সমন্বয় করে ক্রম অনুসারে র‍্যাঙ্কিং নির্ধারণ করা হয়।

২. র‍্যাঙ্ক সংখ্যা গণনা করুন: প্রতিটি গ্রুপের জন্য র‍্যাঙ্ক সংখ্যা গণনা করুন।

৩. পরিসংখ্যানের ইউ-ভ্যালু নির্ণয়: উভয় গ্রুপের জন্য ইউ-ভ্যালু গণনা করতে পূর্বে ব্যাখ্যা করা সূত্রটি ব্যবহার করুন।

৪. ক্রিটিক্যাল ভ্যালু বা পি-ভ্যালু নির্ধারণ: গ্রুপগুলোর মধ্যে পার্থক্যটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ কিনা তা নির্ধারণ করতে, প্রাপ্ত U-ভ্যালুটিকে U-ডিস্ট্রিবিউশন টেবিলের ক্রিটিক্যাল ভ্যালুর সাথে তুলনা করুন (অথবা পি-ভ্যালু গণনা করুন)।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমাদের কাছে A এবং B নামে দুটি ডেটা সেট আছে। এই ডেটাগুলো একটি নির্দিষ্ট রোগের দুটি ভিন্ন চিকিৎসা পদ্ধতির প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, এবং আমরা জানতে চাই যে একটি চিকিৎসা পদ্ধতি অন্যটির চেয়ে বেশি কার্যকর কিনা।

বাস্তব উদাহরণ

ধরা যাক আমাদের দুটি থেরাপি গ্রুপ আছে:

– থেরাপি এ: [৮৫, ৯০, ৮৮, ৭৫, ৯১]
– থেরাপি বি: [৮০, ৭৮, ৯৫, ৮৭, ৯২]

১. ডেটা একত্রীকরণ এবং বিন্যাসকরণ:
– সম্মিলিত: [৮৫, ৯০, ৮৮, ৭৫, ৯১, ৮০, ৭৮, ৯৫, ৮৭, ৯২]
– ক্রম এবং র‍্যাঙ্কিং: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]

২. র‍্যাঙ্কের সংখ্যা গণনা করা:
– থেরাপি ‘এ’ রেটিং-এর সংখ্যা: ৪ + ৭ + ৬ + ১ + ৮ = ২৬
– থেরাপি বি রেটিং সংখ্যা: ৩ + ২ + ১০ + ৫ + ৯ = ২৯

৩. ইউ ভ্যালু গণনা করা:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
একটি ক্ষুদ্রতর U মান বেছে নিন, যথা U = 11।

৪. তাৎপর্য নির্ধারণ:
প্রাপ্ত U-মানটিকে ম্যান-হুইটনি ডিস্ট্রিবিউশন টেবিলের ক্রিটিক্যাল U-মানের সাথে তুলনা করুন অথবা p-মান গণনা করুন। যদি U ক্রিটিক্যাল মানের চেয়ে কম হয় অথবা p-মান আলফার (যেমন, ০.০৫) চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা নাল হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করি এবং এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে দুটি গ্রুপের মধ্যে একটি তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্য রয়েছে।

ম্যান-উইটনি পরীক্ষার সুবিধা এবং সীমাবদ্ধতা

সুবিধাদি:

১. ননপ্যারামেট্রিক: এর জন্য স্বাভাবিক বণ্টনের অনুমানের প্রয়োজন হয় না।
২. নমনীয়তা: ডেটা অর্ডিনাল স্কেলে থাকলে বা এতে আউটলায়ার থাকলে এটি ব্যবহার করা যায়।
৩. সরল ও কার্যকর: গণনা ও ব্যাখ্যা করা সহজ।

সীমাবদ্ধতা:

১. কার্যকারিতার হ্রাস: একটি স্বাভাবিক বণ্টনের ক্ষেত্রে, টি-টেস্ট অধিকতর কার্যকর।
২. একই বন্টন রূপের অনুমান: এই পরীক্ষাটি দুটি দলের মধ্যে একই বন্টন রূপ অনুমান করে।
৩. ক্ষুদ্র নমুনা আকারের উপর সীমাবদ্ধতা: খুব ছোট নমুনার ক্ষেত্রে অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন কম নির্ভুল হতে পারে।

উপসংহার

ম্যান-হুইটনি পরীক্ষা হলো দুটি অযুগ্ম দলের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয়ের জন্য একটি শক্তিশালী ও নমনীয় নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি। এর মৌলিক নীতি ও প্রয়োগ পদ্ধতিগুলো বোঝার মাধ্যমে আমরা বিভিন্ন গবেষণা ক্ষেত্রে নানা কাজে এই পরীক্ষাটি ব্যবহার করতে পারি। যদিও এর কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে, নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে এর সুবিধাগুলো এটিকে পরিসংখ্যানে একটি অত্যন্ত মূল্যবান পদ্ধতিতে পরিণত করে।