অধিবৃত্তাকার গতি

প্রক্ষেপণ গতি সম্পর্কিত প্রবন্ধ এবং সমাধানসহ নমুনা সমস্যা।

প্রাথমিক বেগ (v)_oএবং প্রাথমিক বেগের উপাংশ (v_ox এবং v_oy)

এমন একটি বস্তু যার অধিবৃত্তীয় গতির সর্বদা একটি প্রাথমিক বেগ থাকে। যেহেতু অধিবৃত্তীয় গতি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দিকের গতির একটি সংমিশ্রণ, তাই প্রাথমিক বেগেরও অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাংশ থাকে।

যদি বস্তুটি চিত্র ১ এবং ৩-এর মতো অধিবৃত্তাকারে চলে, তাহলে অনুভূমিক দিকে প্রাথমিক বেগ (v)_oxএবং উল্লম্ব দিকে প্রাথমিক বেগ (v)_oy) নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

v_ox = ভি_o কোসাইন্ θ

v_oy = ভি_o পাপ θ

যদি বস্তুটি চিত্র ২-এর মতো অধিবৃত্তাকারে চলে, তাহলে v_o = ভি_ox (v_oy = 0)

বেগ (v)_x এবং v_y) এবং অবস্থান (x এবং y)

একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দিকের গতিবেগ নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

v_x = ভি_ox = ধ্রুবক (অভিন্ন রৈখিক গতি)

v_y = ভি_oy + gt বা v_y² = ভি_oy² + 2 gh (মুক্ত পতন গতি)

একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে অনুভূমিক (x) এবং উল্লম্ব (y) দিকে বস্তুসমূহের অবস্থান নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

x = v_ox t

y=v_oy t + 1⁄2 gt²

বেগ (v) এবং অবস্থান (h) এর লব্ধি

একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে লব্ধি বেগ নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে বস্তুসমূহের অভিমুখ নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:

নোট:

১. পরাবৃত্তীয় গতির অনুভূমিক উপাংশকে সুষম রৈখিক গতি হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তাই vox = vx সর্বদা ধ্রুবক থাকে।

২. পরাবৃত্তীয় গতির উল্লম্ব উপাংশকে মুক্ত পতন গতি হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তাই যদি বস্তুটি পরাবৃত্তীয়ভাবে চলে, যেমন চিত্র ১ এবং ৩-এ দেখানো হয়েছে, তবে সর্বোচ্চ উচ্চতায় বস্তুটির বেগের উল্লম্ব উপাংশ শূন্য হয় (v_y = 0)। যদি আপনি একটি মার্বেলকে সোজাভাবে উপরের দিকে সর্বোচ্চ উচ্চতায় ছুঁড়ে দেন, তবে বস্তুটি এক মুহূর্তের জন্য স্থির থাকে (v_y = 0) নিচের দিকে মোড় নেওয়ার আগে। অতএব, সর্বোচ্চ উচ্চতায় পরাবৃত্তাকার বস্তুটির গতিবেগ = v_x = ভি_ox

৩. যদি বস্তুটি চিত্র ২-এর মতো অধিবৃত্তাকারে চলে, তবে অধিবৃত্তীয় গতির উল্লম্ব উপাংশকে মুক্ত পতন গতি হিসেবে গণ্য করা হয়। যদি বস্তুটি চিত্র ১ এবং ৩-এর মতো অধিবৃত্তাকারে চলে, তবে অধিবৃত্তীয় গতির উল্লম্ব উপাংশকে ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতি হিসেবে গণ্য করা হয়।

নমুনা সমস্যা:

১. একটি বুলেটকে আনুভূমিক দিকে ২০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে ছোড়া হলো। যদি বন্দুকটি ভূমি থেকে ৫ মিটার উপরে থাকে, তবে নির্ণয় করুন:

(ক) বাতাসে সময়

(খ) সর্বোচ্চ উচ্চতা

(গ) অনুভূমিক দূরত্ব

(d) মাটিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ

সমাধান:

অনুভূমিক দিকের গতিকে সুষম রৈখিক গতির মতো বিশ্লেষণ করা হয়, অপরদিকে উল্লম্ব দিকের গতিকে মুক্ত পতন গতির মতো বিশ্লেষণ করা হয়।

জ্ঞাত:

v_ox = ১০ মি/সে, v_oy = ০ মি/সে, h = ৫ মি, g = ৯.৮ মি/সে²

ক) বাতাসে থাকার সময়

সমাধানটি হলো মুক্ত পতন গতির সময় ব্যবধান (t) নির্ণয় করা।

জ্ঞাত: v_oy = ০ মি/সে, h = ৫ মি, g = ৯.৮ মি/সে²

ওয়ান্টেড: t

খ) সর্বোচ্চ উচ্চতা

সর্বোচ্চ উচ্চতা = h = ৫ মিটার।

গ) অনুভূমিক দূরত্ব (ঘ)

সমাধানটি সুষম রৈখিক গতিতে দূরত্ব নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত: v_ox = ২০ মি/সে, t = ১ দ্বিতীয়

ওয়ান্টেড: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) মাটিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ

v_tx = ভি_ox = 20 মি/সেকেন্ড

v_ty =?

প্রথমে, আমরা উল্লম্ব দিকে চূড়ান্ত গতি (vty) গণনা করি। এর সমাধানটি মুক্ত পতন গতির চূড়ান্ত গতি নির্ণয় করার মতোই।

জ্ঞাত: v_oy = ০, g = ৯.৮ মি/সে², t = 1 সেকেন্ড

ওয়ান্টেড: v_ty

v_t = ভি_o + gt —> vo = 0

v_t = gt

v_t = (9.8 মি/সে)²)(1 সেকেন্ড)

v_t = 9.8 মি/সেকেন্ড

ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ:

বুলেটের দিক:

কারণ v_tx ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে (ডানদিকে) এবং v_ty ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে (নিচের দিকে),

বুলেটটি যখন মাটিতে আঘাত করে তখন এর দিক হয় -২৬.১।^o ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে (নিচের চিত্রটি দেখুন)।

২. কামানটি ৩০-এর দিকে একটি গুলি ছোড়ে।^o অনুভূমিকের দিকে 60 মি/সে বেগে। নির্ণয় করুন:

(ক) সর্বোচ্চ উচ্চতা

(খ) সর্বোচ্চ উচ্চতায় বুলেটের গতিবেগ

(গ) বাতাসে থাকার সময়

(d) অনুভূমিক দূরত্ব

(ঙ) ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটটির গতিবেগ। ধরে নিন ভূমিটি সমতল। 🙂

সমাধান:

অনুভূমিক দিকের গতিকে সুষম রৈখিক গতির মতো এবং উল্লম্ব দিকের গতিকে ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতির মতো বিশ্লেষণ করা হয়।

জ্ঞাত: v_o = ৬০ মি/সে, থিটা = ৩০^o.

জ্ঞাত তথ্যের ভিত্তিতে, আমরা প্রথমে উল্লম্ব (v) গণনা করি।_oy) এবং অনুভূমিক (v_oxপ্রাথমিক গতির (v) উপাদানসমূহ_o).

ক) সর্বোচ্চ উচ্চতা (h)

সমাধানটি ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতির সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত:

v_ox = ভি_o কোসাইন্ θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v_oy = ভি_o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

ক) সর্বোচ্চ উচ্চতা (h)

সমাধানটি উল্লম্ব ঊর্ধ্বমুখী গতির সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত:

v_oy = ৩০ মি/সে (এটি বুলেটের প্রাথমিক গতি)

v_ty = ০ মি/সে (সর্বোচ্চ উচ্চতায়, বুলেটের উল্লম্ব বেগ = ০ মি/সে। এটিই চূড়ান্ত গতি।)

g = – 9.8 m/s²

ওয়ান্টেড: h

v_t² = ভি_o² + ২ জিএইচ

0² = 30² + 2 (-9.8) ঘণ্টা

0 = ৯০০ – ১৯.৬ ঘণ্টা

১০০ = ২০ ঘন্টা

h = 900/19.6

h = ৫ মিটার

বুলেটটির সর্বোচ্চ উচ্চতা = ৪৫.৯ মিটার।

খ) সর্বোচ্চ উচ্চতায় গতিবেগ

সর্বোচ্চ উচ্চতায়, উল্লম্ব দিকের গতিবেগ = ০ মি/সে। সর্বোচ্চ উচ্চতায়, শুধুমাত্র অনুভূমিক দিকেই গতিবেগ থাকে। সর্বোচ্চ উচ্চতায় অনুভূমিক দিকের গতিবেগ অনুভূমিক দিকের প্রাথমিক বেগের সমান, যা হলো ৫২.২ মি/সে। অনুভূমিক দিকের বেগের দিক সর্বদা ধ্রুবক, অর্থাৎ ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে (যদি উপরের চিত্রে কোনো বস্তুর গতি বর্ণনা করা হয়)।

গ) আকাশে কাটানো সময়

সমাধানটি উল্লম্ব ঊর্ধ্বমুখী গতির আলোচনায় সময় ব্যবধান (t) নির্ধারণ করার মতোই।

জ্ঞাত:

v_oy = ৩০ মি/সে (এটি উল্লম্ব দিকে বুলেটের প্রাথমিক গতি)

g = – 9.8 m/s²

h = 0 মি (যখন বুলেটটি ভূমিতে ফিরে আসে, তখন উল্লম্ব দিকে বুলেটটির সরণ = 0 মি)

ওয়ান্টেড: t

h = v_o t + ½ gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 মি/সে)²) টি²

0 = (30) t – 4.9 t²

(30) t = 4.9 t²

30 = 4.9 টি

t = ৩০ / ৪.৯

t = ২ সেকেন্ড

বাতাসে থাকার সময় = ৬.১২ সেকেন্ড

d) অনুভূমিক দূরত্ব (d)

সমাধানটি হলো সুষম রৈখিক গতিতে দূরত্ব (d) নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত:

v_ox = 52.2 মি/সেকেন্ড

t = ২ সেকেন্ড

ওয়ান্টেড: d

d = vt = (৫২.২ মি/সে)(৬.১২ সেকেন্ড) = ৩১৯.৫ মি

e) মাটিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ

v_tx = ভি_ox = 52.2 মি/সেকেন্ড

v_ty =?

প্রথমে, আমরা উল্লম্ব দিকে চূড়ান্ত বেগ (v) গণনা করি।_tyএর সমাধান হলো উল্লম্ব ঊর্ধ্বমুখী গতির চূড়ান্ত গতিবেগ নির্ণয় করা।

ওয়ান্টেড: v_oy = ৩০ মি/সে, g = -৯.৮ মি/সে², t = ৬.১২ সেকেন্ড

ওয়ান্টেড: v_ty

v_ty = ভি_oy + gt

v_ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v_ty = (30) – (60)

v_ty = -২০ মি/সে

একটি ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে যে চূড়ান্ত বেগের দিকটি নিম্নমুখী। লক্ষ্য করুন যে উল্লম্ব দিকের প্রাথমিক বেগ উল্লম্ব দিকের চূড়ান্ত বেগের সমান।

ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ:

গুলির দিক:

যেহেতু v_tx ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে (ডানদিকে) এবং vty ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে (নিচের দিকে),

ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটের বেগের দিক -৩০^o ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর (নিচের চিত্রটি দেখুন)।

৩. একটি ৫০ মিটার উঁচু ভবনের কিনারা থেকে একটি বলকে ১০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে নিক্ষেপ করা হলো। যদি বলটি আনুভূমিকের সাথে ৩০° কোণে নিক্ষেপ করা হয়ে থাকে, তবে নির্ণয় করুন:

(ক) যে সময়কালে বলটি মাটিতে পৌঁছায়

(খ) মাটিতে আঘাত করার সময় বলটির গতিবেগ

(গ) বলটি যে আনুভূমিক দূরত্বে পৌঁছাতে পারে তা ভবনের কিনারা থেকে পরিমাপ করা হয়।

(d) বলটির দ্বারা অর্জিত সর্বোচ্চ উচ্চতা

সমাধান:

প্রথমে, আমরা উল্লম্ব উপাদান (v) গণনা করি_oy) এবং অনুভূমিক উপাদান (v_oxপ্রাথমিক বেগের (v)_o).

v_ox = ভি_o COS 30^o = (10 মি/সে)(0.87) = 8.7 মি/সে

v_oy = ভি_o পাপ 30^o = (10 মি/সে)(0.5) = 5 মি/সে

ক) বলটি মাটিতে পৌঁছানোর সময়কাল

সমাধানটি একটি উল্লম্ব ঊর্ধ্বমুখী গতির ক্ষেত্রে সময় ব্যবধান (t) নির্ণয় করার মতো। যে ভেক্টরের দিক ঊর্ধ্বমুখী, তার মান ধনাত্মক এবং যে ভেক্টরের দিক নিম্নমুখী, তার মান ঋণাত্মক ধরা হয়। বলটি যেখান থেকে ছোড়া হয়েছে, সেই অবস্থানকে একটি নির্দেশক বিন্দু হিসেবে নির্বাচন করা হয়। h ঋণাত্মক, কারণ ভূমিপৃষ্ঠ নির্দেশক বিন্দুর নিচে অবস্থিত; g ঋণাত্মক, কারণ অভিকর্ষজ ত্বরণের দিক নিম্নমুখী।

জ্ঞাত:

v_oy = ৫ মি/সে, h = – ৫ মি, g = – ৯.৮ মি/সে²

ওয়ান্টেড: t

h = v_o t + ½ gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t²

-5 = 5 t – 4.9 t²

-4.9 টি² + 5 t + 5 = 0

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করুন:

বাতাসে থাকার সময় = বলটি ছোড়ার পর থেকে মাটিতে পৌঁছানোর সময়কাল = ১.৬৪ সেকেন্ড।

খ) ভূমির পৃষ্ঠে আঘাত করার সময় বলটির গতিবেগ

v_tx = ভি_ox = ভি_x = 8.7 মি/সেকেন্ড

v_ty =?

প্রথমে, আমরা উল্লম্ব দিকে চূড়ান্ত গতি (v) গণনা করি।_tyসমাধানটি উল্লম্ব ঊর্ধ্বমুখী গতির চূড়ান্ত গতিবেগ নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত: v_oy = ৩০ মি/সে, g = -৯.৮ মি/সে², t = ৬.১২ সেকেন্ড

ওয়ান্টেড: v_ty

v_ty = ভি_oy + gt

v_ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v_ty = 5 - 16

v_ty = -২০ মি/সে

ঋণাত্মক চিহ্নটি নির্দেশ করে যে চূড়ান্ত বেগের দিকটি নিম্নমুখী।

ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ:

বুলেটের বেগের দিক = মাটিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতির দিক:

ভূমিতে আঘাত করার সময় বুলেটের গতিবেগ:

যেহেতু vtx ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে (ডানদিকে) এবং vty ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে (নিচের দিকে),

বুলেটটি যখন ভূমিতে আঘাত করে, তখন এর দিক ধনাত্মক x-অক্ষের সাপেক্ষে -৫২° হয় (নিচের চিত্রটি দেখুন)।

গ) ভবনের কিনারা থেকে বলটির পৌঁছানোর মতো আনুভূমিক দূরত্ব মাপা হয়।

সমাধানটি হলো সুষম রৈখিক গতিতে অতিক্রান্ত দূরত্ব (d) নির্ণয় করার মতো।

জ্ঞাত: t = ১.৬৪ সেকেন্ড, v_x = 8.7 মি/সেকেন্ড

ওয়ান্টেড: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা

জ্ঞাত: v_oy = ১০ মি/সে, v_ty = ০ মি/সে (সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগের উল্লম্ব উপাংশ = ০ মি/সে, g = -৯.৮ মি/সে².

ওয়ান্টেড: h

v_ty² = ভি_oy² + ২ জিএইচ

0 মি/সে = (5 মি/সে)² + 2(-9.8 মি/সে)²(জ)

০ মি/সে = ২৫ (মি/সে)² + (-১৯.৬ মি/সে)²(জ)

২৫ (মি/সে)² = -১৯.৬ মি/সে² (h)

h = 25 (m/s)² : -১৯.৬ মি/সে² = ৩০ মিটার

বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা = ভবনের ছাদ থেকে ১.৩ মিটার উপরে = ১.৩ মি + ৫০ মি = ভূমি পৃষ্ঠ থেকে ৫১.৩ মিটার উপরে।