হুকের সূত্র ও স্থিতিস্থাপকতা – সমস্যা ও সমাধান

হুকের সূত্র ও স্থিতিস্থাপকতা – সমস্যা ও সমাধান

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

একটি দণ্ডের দৈর্ঘ্য L এবং একে F বল দ্বারা টানা হচ্ছে। দণ্ডটির প্রসারণ ∆L। যদি দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন 4∆L হয়, তবে বলটির মান কত?

জ্ঞাত :

বল 1 (F ₁ ) = F

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন 1 (∆L ₁ ) = ∆L

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

مطلوب: ফোর্স ২ (এফ _২ )

সমাধান:

হুকের সূত্রের সমীকরণ

k = F / ΔL

k = স্থিতিস্থাপকতার ধ্রুবক, F = F বল, ΔL = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

k ₁ = k ₂

F ₁ / ∆L ₁ = F ₂ / ∆L ₂

F / ΔL = F ₂ / 4ΔL

F / 1 = F ₂ / 4

F = F ₂ / 4

F ₂ = 4F

2. নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী স্প্রিংগুলো শ্রেণি-সমান্তরালভাবে সংযুক্ত আছে। স্প্রিং ১-এর টান ২০০ নিউটন/মিটার, স্প্রিং ২-এর টান ২০০ নিউটন/মিটার এবং স্প্রিং ৩-এর টান ২০০ নিউটন/মিটার। বস্তুটির ভর ১০০ গ্রাম এবং মাধ্যাকর্ষণ বলের প্রভাবে গতি বৃদ্ধি ১০ মি/সে²দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন কত? দ্য সমতুল্য বসন্ত।

জ্ঞাত :

বস্তুটির ভর (m) = ১০০ গ্রাম = ০.১ কেজি

k ₁ = k ₂ = k ₃ = 200 N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² = ¹ নিউটন

জ্ঞাতব্য: সমতুল্য স্প্রিংটির দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ।

সমাধান:

সমতুল্য নির্ধারণ করুন স্প্রিং ধ্রুবক :

স্প্রিং ২ (k₂ ₎ এবং স্প্রিং ৩ (k₃ ₎ সমান্তরালে সংযুক্ত। সমতুল্য স্প্রিং ধ্রুবক:

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

স্প্রিং 1 (k ₁ ) এবং স্প্রিং p (k _P ) শ্রেণিতে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিং ধ্রুবক:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

সমতুল্য স্প্রিং ধ্রুবক হলো 400/3 Nm ^-1

সমতুল্য স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন নির্ণয় করুন :

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

∆x = F / k = w / k

সমতুল্য স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 মি = 0.75 সেমি

স্প্রিং ধ্রুবক

৩. নিচের সারণিতে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী স্প্রিং ধ্রুবক কত?

সমাধান:

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

k = F / Δx

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = ০.৯৮ / ০.০০৮ = ১.৯৬ / ০.০০১৬ = ২.৯৪ / ০.০০২৪ = ৩.৯২ / ০.০০৩২ = ১.২২৫ নিউটন/মিটার

৪. নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী তিনটি স্প্রিং শ্রেণি-সমান্তরালভাবে সংযুক্ত আছে। স্প্রিংগুলোর ধ্রুবক k₁ ₌ k₂ ₌ 3 Nm⁻¹ ^এবং k₃ ₌ 6 Nm⁻¹ ^। স্প্রিংটির সমতুল্য ধ্রুবক কত?

জ্ঞাত :

স্প্রিং ১ এর ধ্রুবক (k1 ₎ = স্প্রিং ২ এর ধ্রুবক (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

স্প্রিং ধ্রুবক 3 (k ₃ ) = 6 Nm ⁻¹

জ্ঞাত : সমতুল্য স্প্রিং এর ধ্রুবক (k)

সমাধান:

স্প্রিং ১ (k₁ ₎ এবং স্প্রিং ২ (k₂ ₎ সমান্তরালে সংযুক্ত। সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবক :

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

স্প্রিং p (k _P ) এবং স্প্রিং 3 (k ₃ ) সিরিজে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিং এর ধ্রুবক :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

স্প্রিং-এর সমতুল্য ধ্রুবক = 3 Nm ⁻¹ ।

৫. L দৈর্ঘ্যের একটি স্প্রিংকে w ওজনের বস্তু দ্বারা টানা হচ্ছে। নিচের সারণিতে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সমতুল্য স্প্রিংটির ধ্রুবক কত?

সমাধান:

k = F / Δx

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = ০.৯৮ / ০.০০৮ = ১.৯৬ / ০.০০১৬ = ২.৯৪ / ০.০০২৪ = ৩.৯২ / ০.০০৩২ = ১.২২৫ নিউটন/মিটার

৬. নিচের সারণিতে প্রদত্ত তথ্য অনুসারে, সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবকটি কত?

সমাধান:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = স্থিতিস্থাপকতার ধ্রুবক, w = ওজন, m = ভর, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ, Δx = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = ২ / ০.০৫ = ৪ / ০.১ = ৬ / ০.১৫ = ৮ / ০.২০ = ১০ / ০.২৫ = ৪০ নিউটন/মিটার

৭. যদি k ₁ = 4k হয়, তাহলে সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক কত?

সমাধান:

দুটি স্প্রিং সমান্তরালে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবক :

k _p = k + k = 2k

দুটি স্প্রিং সিরিজে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক।

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k _s = 4k/3

৬. নিচের সারণিতে প্রদত্ত তথ্য অনুসারে, সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবকটি কত?

সমাধান:

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

k = F / Δ L

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = ২ / ০.০০৫০ = ৩ / ০.০০৭৫ = ৪ / ০.০১ = ৪০০ Nm ^-১

৯. ক্ষুদ্রতম ধ্রুবকটি হলো…

সমাধান

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

k = F / Δx

k = স্থিতিস্থাপকতার ধ্রুবক, F = বল, Δx = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

স্থিতিস্থাপকতা ধ্রুবক:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

১০. নিচের সারণিতে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী বৃহত্তম ধ্রুবক কোনটি?

সমাধান:

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

k _B = 8 / 0.025 = 320 Nm ^-1

k _C = 6 / 0.020 = 300 Nm ^-1

k _D = 9 / 0.045 = 200 Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

বৃহত্তম ধ্রুবকটি হলো 320 Nm ^-1 ।

১১. নিচের লেখচিত্রটি বলের পরিবর্তন (ΔF) এবং দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধি (Δx)-এর মধ্যে সম্পর্ক দেখায়। কোন লেখচিত্রটিতে স্থিতিস্থাপকতার ধ্রুবক সর্বনিম্ন?

সমাধান

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

k = F / Δx

Δx = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, F = বল, k = স্থিতিস্থাপকতার ধ্রুবক

স্থিতিস্থাপকতা ধ্রুবক:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k _D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

১২. কোন লেখচিত্র h- এর স্থিতিস্থাপক ধ্রুবক সর্বোচ্চ?

সমাধান:

স্থিতিস্থাপকতা ধ্রুবক :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k _D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি:

১৩. নিচের লেখচিত্রে বল এবং স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তনের মধ্যে সম্পর্ক দেখানো হয়েছে । নিচের লেখচিত্র অনুযায়ী স্প্রিংটির স্থিতিশক্তি কত?

জ্ঞাত :

F = 40N

x = ০.০৮ মিটার

নির্ণেয় : স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি

সমাধান:

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 জুল

১৪. একটি ২ কেজি ভরের ব্লক একটি স্প্রিংয়ের সাথে যুক্ত আছে। যদি স্প্রিংটির দৈর্ঘ্য ৫ সেমি বৃদ্ধি পায় এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² হয় ^, তবে স্প্রিংটির স্থিতিশক্তি কত?

জ্ঞাত :

দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধি (Δx) = ৫ সেমি = ০.০৫ মিটার

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ ^s²

ব্লকটির ভর (m) = ৮ কেজি

ব্লকের ওজন (w) = mg = (2)(10) = 20 নিউটন

স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান:

স্থিতিস্থাপকতা ধ্রুবক:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

স্থিতিশক্তি = ২৫০ জুল

১৫. ২০-N বল দ্বারা টানলে স্প্রিংটির দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন হয় ৫ সেমি। স্প্রিংটির দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ১০ সেমি হলে এর স্থিতিশক্তি কত হবে?

জ্ঞাত :

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন (Δx) = ৫ সেমি = ০.০৫ মিটার

বল (F) = ৬ নিউটন

নির্ণেয় : স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি

সমাধান:

স্প্রিং ধ্রুবক :

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

যখন Δx = 10 সেমি = 0.1 মিটার, তখন স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি :

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

স্থিতিশক্তি = ২৫০ জুল

বস্তুর ওজন

১৬. চারটি স্প্রিং, যাদের প্রত্যেকটির ধ্রুবক ৮০০ নিউটন/মিটার, চিত্রানুযায়ী শ্রেণি-সমান্তরালভাবে সংযুক্ত। প্রতিটি স্প্রিংয়ের সাথে একটি ব্লক যুক্ত করা আছে। সব স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ৫ সেন্টিমিটার। ব্লকগুলোর ওজন কত?

জ্ঞাত :

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 800 N m ⁻¹

Δx = 5 সেমি = 0.05 মি

প্রয়োজনীয় : ব্লকের ওজন (w)

সমাধান:

সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক নির্ণয় করুন।

বসন্ত ২ (কে)₁), বসন্ত ২ (কে₂) এবং স্প্রিং ৩ (কে₃) সমান্তরালে সংযুক্ত। সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবক :

k _p = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

স্প্রিং p (k _P ) এবং স্প্রিং 4 (k ₄ ) সিরিজে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিং এর ধ্রুবক :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক হলো 600 Nm ^-1

বস্তুটির ওজন নির্ণয় করুন :

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

F = k Δx অথবা w = k Δx

বস্তুর ওজন:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 নিউটন

১৭. চারটি স্প্রিং শ্রেণি-সমান্তরাল সংযোগে যুক্ত আছে। প্রতিটি স্প্রিংয়ের ধ্রুবক হলো ১৬০০ নিউটন/মিটার। চিত্রানুযায়ী, স্প্রিংগুলোর এক প্রান্তে একটি ব্লক সংযুক্ত করা হয়েছে। সব স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্য ৫ সেন্টিমিটার বৃদ্ধি করা হয়েছে। ব্লকগুলোর ওজন কত?

জ্ঞাত :

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 1600 N m ⁻¹

Δx = 5 সেমি = 0.05 মি

প্রয়োজনীয়: ব্লকের ওজন

সমাধান:

সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক নির্ণয় করুন।

বসন্ত ২ (কে)₁), বসন্ত ২ (কে₂) এবং স্প্রিং ৩ (কে₃) সমান্তরালে সংযুক্ত। সমতুল্য স্প্রিং-এর ধ্রুবক :

k _P = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ⁻¹

স্প্রিং p (k _P ) এবং স্প্রিং 4 (k ₄ ) সিরিজে সংযুক্ত আছে। সমতুল্য স্প্রিং এর ধ্রুবক :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

সমতুল্য স্প্রিংয়ের ধ্রুবক হলো 1200 Nm ^-1

বস্তুটির ওজন নির্ণয় করুন :

হুকের সূত্রের সমীকরণ:

F = k Δx অথবা w = k Δx

বস্তুর ওজন :

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 নিউটন

1. হুকের সূত্র কী?
   • উত্তর: হুকের সূত্র কোনো স্থিতিস্থাপক বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল এবং এর ফলে সৃষ্ট বিকৃতির (সাধারণত প্রসারণ বা সংকোচন) মধ্যকার সম্পর্ক বর্ণনা করে। বিশেষত, এটি বলে যে একটি স্প্রিংকে সংকুচিত বা প্রসারিত করতে প্রয়োজনীয় বল তার প্রসারণ বা সংকোচনের দূরত্বের সমানুপাতিক, যদি তার স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্রম না করা হয়।
2. যখন আমরা বলি কোনো বস্তু তার স্থিতিস্থাপক সীমায় পৌঁছেছে, তখন এর মানে কী?
   • উত্তর: যখন কোনো বস্তু তার স্থিতিস্থাপক সীমায় পৌঁছায়, তার মানে হলো, বিকৃতকারী বল সরিয়ে নেওয়ার পর সেটি আর তার মূল আকৃতি বা আকারে ফিরে আসবে না। এই সীমার পর, বস্তুটি প্লাস্টিক আচরণ করে এবং স্থায়ীভাবে বিকৃত হয়ে যেতে পারে।
3. স্প্রিং ধ্রুবক (k)-এর সাথে স্প্রিং-এর দৃঢ়তার সম্পর্ক কী?
   • উত্তর: স্প্রিং ধ্রুবক (k) হলো একটি স্প্রিংয়ের দৃঢ়তার পরিমাপ। k-এর বৃহত্তর মান একটি অধিক দৃঢ় স্প্রিং নির্দেশ করে, যার অর্থ হলো এটিকে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে বাঁকাতে অধিক বলের প্রয়োজন হয়, অপরদিকে k-এর ক্ষুদ্রতর মান একটি অধিক নমনীয় বা নরম স্প্রিং নির্দেশ করে।
4. এসআই পদ্ধতিতে স্প্রিং ধ্রুবকের একক কী?
   • উত্তর: এসআই পদ্ধতিতে স্প্রিং ধ্রুবক (k)-এর একক হলো নিউটন প্রতি মিটার (N/m)।
5. হুকের সূত্র দ্বারা বর্ণিত আচরণকে কেন রৈখিক বলে বিবেচনা করা হয়?
   • উত্তর: এই আচরণকে রৈখিক বলা হয়, কারণ প্রযুক্ত বল (F) এবং সরণ (x)-এর মধ্যে সম্পর্কটি একটি সরলরৈখিক, এবং সম্পর্কটি নিম্নরূপে দেওয়া হলো। $F=kx$যেখানে k হলো কোনো নির্দিষ্ট উপাদান বা স্প্রিংয়ের জন্য একটি ধ্রুবক।
6. হুকের সূত্র কি শুধু স্প্রিংয়ের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য?
   • উত্তর: না, হুকের সূত্র এমন যেকোনো স্থিতিস্থাপক পদার্থের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা প্রযুক্ত বলের সাথে রৈখিকভাবে বিকৃত হয়, তবে তা তার স্থিতিস্থাপক সীমা পর্যন্ত। যদিও স্প্রিং একটি সাধারণ উদাহরণ, তবে রাবার ব্যান্ড, সামান্য বিকৃতির অধীনে থাকা ধাতু এবং কিছু জৈবিক কলার মতো অন্যান্য পদার্থও হুকের সূত্র দ্বারা বর্ণিত আচরণ প্রদর্শন করতে পারে।
7. কোনো বস্তুকে তার স্থিতিস্থাপক সীমার বাইরে প্রসারিত করা হলে, কিন্তু ভেঙে যাওয়ার মতো যথেষ্ট পরিমাণে না হলে, কী ঘটবে?
   • উত্তর: যদি কোনো বস্তুকে তার স্থিতিস্থাপক সীমার বাইরে কিন্তু ভেঙে যাওয়ার পর্যায়ে না নিয়ে গিয়ে প্রসারিত করা হয়, তবে তার প্লাস্টিক বিকৃতি ঘটবে। এর অর্থ হলো, বল সরিয়ে নেওয়ার পর বস্তুটি পুরোপুরি তার আগের আকৃতিতে ফিরে আসবে না এবং কিছু স্থায়ী বিকৃতি থেকে যাবে।
8. পীড়ন এবং বিকৃতির ধারণা দুটি হুকের সূত্রের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?
   • উত্তর: পীড়ন হলো প্রতি একক ক্ষেত্রফলে প্রযুক্ত বল এবং বিকৃতি হলো কোনো বস্তুর আপেক্ষিক রূপান্তর। পীড়ন ও বিকৃতির সাপেক্ষে হুকের সূত্রানুসারে, পীড়ন বিকৃতির সমানুপাতিক, এবং এই সমানুপাতিক ধ্রুবকটি হলো বস্তুটির ইয়ং মডুলাস। এটি বল ও বিকৃতির মধ্যকার রৈখিক সম্পর্ক প্রকাশের আরেকটি উপায়, তবে তা শুধু স্প্রিংয়ের জন্য নয়, বরং স্থূল বস্তুর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।
9. ইয়ং মডুলাস কী এবং স্থিতিস্থাপকতার সাথে এর সম্পর্ক কী?
   • উত্তর: ইয়ং-এর মডুলাস, যা সাধারণত এই অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় $E$ইয়ং মডুলাস হলো টান বা সংকোচনের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর দৃঢ়তার একটি পরিমাপ। এটি প্রযুক্ত বলের প্রভাবে বস্তুর বিকৃতি প্রতিরোধ করার ক্ষমতাকে বর্ণনা করে। উচ্চতর ইয়ং মডুলাস একটি অধিক দৃঢ় বস্তুকে নির্দেশ করে এবং এটিকে পীড়ন ও বিকৃতির অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
10. হুকের সূত্র দ্বারা কি সকল পদার্থকে বর্ণনা করা যায়?

• উত্তর: না, সব পদার্থ হুকের সূত্র অনুসারে আচরণ করে না। অনেক পদার্থ, বিশেষ করে যেগুলো অরৈখিক, সান্দ্র-স্থিতিস্থাপক বা প্লাস্টিক, সেগুলোতে পীড়ন ও বিকৃতির মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক দেখা যায় না। হুকের সূত্র একটি আদর্শায়িত বর্ণনা এবং এটি স্থিতিস্থাপক পদার্থের ক্ষুদ্র বিকৃতির ক্ষেত্রে সবচেয়ে নির্ভুল।