বৃত্তাকার গতি – সমস্যা ও সমাধান

বৃত্তাকার গতি – সমস্যা ও সমাধান

১. একটি ১০ কেজি ভরের বস্তু একটি বৃত্তচাপে ৪ মি/সে ধ্রুব গতিবেগে চলে। যদি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ০.৫ মিটার হয়, তাহলে :

১) বৃত্তচাপের কম্পাঙ্ক হলো 4/π Hz

2) কেন্দ্রমুখী ত্বরণ ৩২ মিলিসেকেন্ড^-2

3) কেন্দ্রমুখী বল ৩২০ নিউটন

৪) পর্যায়কাল হলো 4π সেকেন্ড।

কোন বিবৃতিগুলো সত্য?

জ্ঞাত :

ভর বস্তুর (m) = 10 কেজি

সার্জারির রৈখিক বেগ (v) = 4 মি/সে

বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = ০.৫ মিটার

সমাধান:

১) বৃত্তের কম্পাঙ্ক

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π হার্টজ

২) কেন্দ্রমুখী ত্বরণ

a_s = ভি² / r = ২০² / ৫০ = ৪০০ / ৫০ = ৮ মি/সে²

৩) কেন্দ্রমুখী বল

F = মা_s = (10)(32) = 320 N

৪) সময়কাল

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

২. একটি বস্তু ৬ মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে ঘোরে। যদি বস্তুটি ২ মিনিটে ১৬ বার বৃত্তাকারে ঘোরে, তবে বস্তুটির রৈখিক বেগ কত?

জ্ঞাত :

ব্যাসার্ধ (r) = ০.৫ মিটার

কৌণিক বেগ (ω) = ১৬ আবর্তন / ২ মিনিট = ৮ আবর্তন / মিনিট = ৮ আবর্তন / ৬০ সেকেন্ড = ০.১৩ আবর্তন/সেকেন্ড।

ওয়ান্টেড: রৈখিক বেগ (v)?

সমাধান:

v = r ω = (৬ মিটার)(০.১৩ ঘূর্ণন/সেকেন্ড) = ০.৮ মিটার/সেকেন্ড

রেডিয়ানে :

১ ঘূর্ণন = ২π রেডিয়ান = ২(৩.১৪) = ৬.২৮ রেডিয়ান

কৌণিক বেগ = 8 (6.28) রেডিয়ান / 60 সেকেন্ড = 50.24 রেডিয়ান / 60 সেকেন্ড = 0.84 রেডিয়ান/সেকেন্ড

v = r ω = (৬ মিটার)(০.৮৪ রেডিয়ান/সেকেন্ড) = ৫.০৪ রেডিয়ান/সেকেন্ড।

৩. ২০/π সেমি ব্যাসার্ধের একটি বস্তু ১ সেকেন্ডে ৪ বার ঘোরে। বস্তুটির প্রান্তের রৈখিক বেগ কত?

জ্ঞাত :

ব্যাসার্ধ (r) = ২০/π সেমি = ২০ / ৩.১৪ সেমি = ৬.৪ সেমি = ০.০৬৪ মিটার

কৌণিক বেগ (ω) = ৪ আবর্তন / ১ সেকেন্ড = ৪ আবর্তন / সেকেন্ড।

১ ঘূর্ণন = (২)(৩.১৪) রেডিয়ান = ৬.২৮ রেডিয়ান

কৌণিক বেগ (ω) = (4)(6.28) রেডিয়ান/সেকেন্ড = 25.12 রেডিয়ান/সেকেন্ড

আবশ্যক : বস্তুর প্রান্তের রৈখিক বেগ (v)

সমাধান:

v = r ω = (০.০৬৪ মিটার)(২৫.১২ রেডিয়ান/সেকেন্ড) = ১.৬ মিটার/সেকেন্ড

৪. একটি বস্তু স্থির গতিতে বৃত্তাকার পথে চললে, বস্তুটির রৈখিক বেগ নির্ভর করে…

সমাধান:

বৃত্তাকার গতির রৈখিক বেগের সমীকরণ:

v = রৈখিক বেগ

d = 2πr = পরিধি

T = পর্যায়কাল = এক পূর্ণ আবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় সময়

৫. একটি বস্তু ৫০ মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে ঘোরে। যদি বস্তুটির কৌণিক গতিবেগ ১২০ rpm হয়, তবে সময় ব্যবধান এবং বস্তুটির রৈখিক বেগ কত?

জ্ঞাত :

ব্যাসার্ধ (r) = ২৫ সেমি = ০.২৫ মিটার

কৌণিক বেগ (ω) = ১২০ আরপিএম = ১২০ ঘূর্ণন / ১ মিনিট = ১২০ ঘূর্ণন / ৬০ মিনিট = ২ ঘূর্ণন / ১ সেকেন্ড

১ ঘূর্ণন = ২π রেডিয়ান

কৌণিক বেগ (ω) = ২ (২π রেডিয়ান) / ১ সেকেন্ড = ৪π রেডিয়ান/সেকেন্ড

আবশ্যক : সময় ব্যবধান (T) এবং রৈখিক গতি (v)

সমাধান:

সময়কাল (T) :

পর্যায়কাল হলো একটি পূর্ণ আবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় সময়।

একটি বস্তু ১ সেকেন্ডে দুইবার ঘোরে = প্রতি ০.৫ সেকেন্ডে একবার। পর্যায়কাল = ০.৫ সেকেন্ড।

রৈখিক বেগ (v) :

v = r ω = (0.5 মিটার)(4π রেডিয়ান/সেকেন্ড) = 2π মিটার/সেকেন্ড।

1. বৃত্তীয় গতিতে স্পর্শকীয় বেগ এবং কৌণিক বেগের মধ্যে পার্থক্য কী?

   উত্তরস্পর্শকীয় গতি হলো কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর একটি বিন্দুর রৈখিক গতি এবং এটি নির্দেশ করে যে বিন্দুটি তার বৃত্তাকার পথে কত দ্রুত গতিশীল। অন্যদিকে, কৌণিক গতি বলতে বোঝায় বস্তুটি ঘোরার সাথে সাথে তার কোণ কত দ্রুত পরিবর্তিত হয়। স্পর্শকীয় গতি সাধারণত মিটার প্রতি সেকেন্ড (m/s) এককে পরিমাপ করা হয়, যেখানে কৌণিক গতি সাধারণত রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড (rad/s) এককে পরিমাপ করা হয়।

2. কেন্দ্রমুখী ত্বরণ কী এবং বৃত্তাকার গতির সাথে এর সম্পর্ক কী?

   উত্তরকেন্দ্রমুখী ত্বরণ হলো বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত ত্বরণ। এটি সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে এবং বস্তুটিকে তার বৃত্তাকার পথে রাখতে সাহায্য করে। কেন্দ্রমুখী ত্বরণের সূত্রটি হলো a_c​=v²/r​ কোথায় $v$ স্পর্শকীয় গতি এবং $r$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
3. সুষম বৃত্তীয় গতিতে থাকা কোনো বস্তুর গতিবেগ স্থির থাকা সত্ত্বেও কেন তার ত্বরণ থাকে?

   উত্তরসুষম বৃত্তীয় গতিতে বেগের মান স্থির থাকলেও বেগের দিক পরিবর্তিত হয়। যেহেতু ত্বরণকে বেগের পরিবর্তন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং বেগ একটি ভেক্টর রাশি যার মান ও দিক উভয়ই আছে, তাই দিকের যেকোনো পরিবর্তনই ত্বরণ হিসেবে গণ্য হয়। এক্ষেত্রে, এটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ।

4. বৃত্তাকার গতি বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় বল বস্তুর ভর এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

   উত্তরবৃত্তাকার গতি বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় বল কেন্দ্রমুখী বলের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়: F_c​=m×a_c​=m×v²/r​সমীকরণ থেকে দেখা যায়, প্রয়োজনীয় বল বস্তুটির ভরের সমানুপাতিক এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক।

5. গাড়ি যখন তীক্ষ্ণ বাঁক নেয় (যেমন, গোলচত্বরে), তখন আপনার কেন বাইরের দিকে ঠেলে বের হয়ে যাওয়ার মতো অনুভূতি হয়?

   উত্তরএর কারণ হলো “কাল্পনিক” কেন্দ্রবিমুখী বল, যা একটি অনুভূত বল এবং বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর উপর এটি বাইরের দিকে কাজ করে। এটি ধাক্কা বা টানের মতো কোনো বাস্তব বল নয়, বরং জড়তার একটি প্রভাব। আপনার শরীর সরলরেখায় চলতে চায় (নিউটনের প্রথম সূত্র), কিন্তু গাড়ির দেয়াল বা সিটবেল্ট আপনাকে বৃত্তাকারে ঘুরতে বাধ্য করার জন্য বল প্রয়োগ করে। এর ফলেই বাইরের দিকে ধাক্কা খাওয়ার অনুভূতি তৈরি হয়।

6. বৃত্তাকার গতিতে, বিশেষ করে রাস্তায় গাড়ি মোড় নেওয়ার সময়, ঘর্ষণ কী ভূমিকা পালন করে?

   উত্তরটায়ার ও রাস্তার মধ্যকার ঘর্ষণ প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল প্রদান করে, যা একটি গাড়িকে ঘুরতে সাহায্য করে। পর্যাপ্ত ঘর্ষণ না থাকলে, গাড়িটি পিছলে যাবে বা স্কিড করবে এবং তার উদ্দিষ্ট বৃত্তাকার পথ অনুসরণ করতে ব্যর্থ হবে।

7. বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হলে কিন্তু গতিবেগ একই থাকলে কেন্দ্রমুখী বলের কী পরিবর্তন হয়?

   উত্তরযদি ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয় এবং গতিবেগ একই থাকে, তবে কেন্দ্রমুখী বল দ্বিগুণ হবে, কারণ কেন্দ্রমুখী বল ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক।

8. বৃত্তাকার গতিতে কেন্দ্রমুখী বল ছাড়া কেন্দ্রবিমুখী বল কেন থাকতে পারে না?

   উত্তরকেন্দ্রবিমুখী বল হলো একটি প্রতিক্রিয়াশীল বা “কাল্পনিক” বল যা একটি ঘূর্ণায়মান নির্দেশ কাঠামোতে পরিলক্ষিত হয়। মনে হয়, এই বল বস্তুগুলোকে ঘূর্ণন কেন্দ্র থেকে বাইরের দিকে ঠেলে দেয়। কিন্তু, কোনো বস্তুর বৃত্তাকার পথে চলার জন্য কেন্দ্রের দিকে একটি বাস্তব বল কাজ করা আবশ্যক, আর সেটি হলো কেন্দ্রমুখী বল। কেন্দ্রমুখী বল ছাড়া শুরুতেই বৃত্তাকার গতির সৃষ্টি হতো না এবং ফলস্বরূপ, কেন্দ্রবিমুখী বলের উপলব্ধিও হতো না।

9. পৃথিবী ও চাঁদের মধ্যকার মহাকর্ষ বল কীভাবে চাঁদের বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য দায়ী?

   উত্তরপৃথিবী ও চাঁদের মধ্যকার মহাকর্ষীয় বল কেন্দ্রমুখী বল হিসেবে কাজ করে, যা চাঁদকে পৃথিবীর চারপাশে তার কক্ষপথে রাখে। এই মহাকর্ষীয় আকর্ষণ না থাকলে, চাঁদ তার বৃত্তাকার (বা আরও সঠিকভাবে বললে, উপবৃত্তাকার) কক্ষপথের পরিবর্তে সরলরেখায় ঘুরত।

10. একটি বলকে একই গতিতে বৃত্তাকারে ঘোরানোর সময় যদি বলটির সাথে বাঁধা সুতো অর্ধেক ছোট করা হয়, তাহলে সুতোটির টান কীভাবে পরিবর্তিত হবে?

উত্তরগতিবেগ স্থির রেখে যদি সুতার দৈর্ঘ্য (যা বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধের সমান) অর্ধেক করা হয়, তবে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল (এবং ফলস্বরূপ সুতার টান) দ্বিগুণ হবে। এর কারণ হলো, কেন্দ্রমুখী বল (এবং এই ক্ষেত্রে টানও) ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক।