ভেক্টরের যোগফল সম্পর্কিত প্রবন্ধ
১. ভেক্টর ও স্কেলার রাশি
মৌলিক ও লব্ধ রাশিগুলো ছাড়াও ভৌত রাশিগুলোকে আরও দুই ভাগে ভাগ করা যায়, যথা স্কেলার রাশি এবং ভেক্টর রাশি। ভর, দূরত্ব, সময় এবং আয়তনের মতো রাশিগুলো হলো স্কেলার রাশি; এদের কেবল মান আছে কিন্তু কোনো দিক নেই। অন্যদিকে, সরণ, বেগ, ত্বরণ এবং বলের মতো রাশিগুলো হলো ভেক্টর রাশি; এদের মান ও দিক উভয়ই আছে।
a. পার্থক্য s এর মধ্যেক্যালোরিক এবং ভেক্টর পরিমাণ
যদি আপনি বলেন একটি বলের ভর ৪০০ গ্রাম, তবে বলটির ভর জানার জন্য এই বিবৃতিটিই যথেষ্ট। বলটির ভর বের করার জন্য আপনার দিকের প্রয়োজন নেই। একইভাবে সময়, তাপমাত্রা, আয়তন, ঘনত্ব ইত্যাদির ক্ষেত্রেও। এমন অনেক ভৌত রাশি আছে যা শুধুমাত্র মান দ্বারা প্রকাশ করা যায় না। যদি আপনি বলেন একটি শিশু ১০০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছে, তবে এই বিবৃতিটি যথেষ্ট নয়। আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন, সে কোথায় গিয়েছিল? উত্তর, দক্ষিণ, পূর্ব, নাকি পশ্চিম দিকে? একইভাবে, যদি আপনি বলেন যে আপনি টেবিলটিকে ২০০ নিউটন বল দিয়ে ধাক্কা দিয়েছেন।
আপনি কোথায় গাড়ি চালান? আচ্ছা, এই ধরনের রাশিগুলোকে ভেক্টর রাশি বলা হয়, যেগুলোর মান ও দিক ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন হয়। ভেক্টর রাশির উদাহরণ হলো সরণ, ত্বরণ, ঘাত। ভরবেগইত্যাদি। ঐ পরিমাণগুলো সম্পর্কিত বিষয়গুলো অধ্যয়ন করলে আপনি এটি আরও স্পষ্টভাবে বুঝতে পারবেন।
খ. একটি ভেক্টর আঁকুন।
ভেক্টরকে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা নির্দেশ করা হয়। তীর চিহ্নটি সর্বদা এমনভাবে আঁকা হয় যাতে এটি ভেক্টরের দিকে নির্দেশ করে। তীর চিহ্নের দৈর্ঘ্যকে ভেক্টরের মান হিসাবে বর্ণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে একটি বল (F) ভেক্টরের মান ২ নিউটন, যার দিক উত্তর-পূর্ব বা ৪৫° কোণে।o এক্স-অক্ষ বরাবর।
গ. আরules w এর জন্যভেক্টরের পরিমাণ লেখা
ভেক্টর লেখার ক্ষেত্রে, হাতে লিখলে ভেক্টরের প্রতীকটি সাধারণত বড় হাতের অক্ষরে ইটালিক হরফে লেখা হয় এবং এর উপরে একটি তীর চিহ্ন যোগ করতে হয়। মুদ্রিত বইয়ের জন্য, ভেক্টর প্রতীকগুলো বড় হাতের অক্ষরে বোল্ড করে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ, Fভেক্টরের মানের ক্ষেত্রে, হস্তাক্ষরে লিখলে ভেক্টরের মান লেখা হয়, যেমন, |F|। ছাপা বইয়ের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের মান ইটালিক অক্ষরে লেখা হয়, যেমন, F.
২. ভেক্টরের যোগ—লেখচিত্রের মাধ্যমে
লেখচিত্রের মাধ্যমে ভেক্টর যোগ করার বেশ কয়েকটি উপায় রয়েছে, যার মধ্যে লেজ-থেকে-শীর্ষ পদ্ধতি এবং সামান্তরিক পদ্ধতি অন্যতম।
ক. ভেক্টর যোগের লেজ-থেকে-শিখর পদ্ধতি
ভেক্টর A এবং B জানা আছে। ভেক্টর A = 3 সেমি, x-অক্ষের (পূর্ব দিকে) সাথে মিলে যায়। ভেক্টর B = 2 সেমি, 30° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষের দিকে (উত্তর-পূর্ব দিকে)। লেজ-থেকে-শীর্ষ পদ্ধতি ব্যবহার করে গ্রাফিকভাবে A এবং B যোগ করুন। ক) R = A + B খ) R = A – B
লব্ধি ভেক্টর (R)-এর মান রুলার দিয়ে মাপা হয়। লব্ধি ভেক্টরের দিক প্রোটেক্টর দিয়ে মাপা হয়।
জানা ভেক্টর A, B, এবং C। ভেক্টর A = 3 সেমি, x-অক্ষের (পূর্ব দিকে) সাথে মিলে যায়। ভেক্টর B = 2 সেমি, 30° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষের সাথে (উত্তর-পূর্ব দিকে)। ভেক্টর C = 1 সেমি 60° কোণ তৈরি করে।o এক্স-অক্ষের সাথে (উত্তর-পূর্ব দিকে)। টেইল-টু-টিপ পদ্ধতি ব্যবহার করে গ্রাফিকভাবে A, B, এবং C যোগ করুন।
ক) R = A + B + C
খ) R = A – B – C
লব্ধি ভেক্টর (R) একটি রুলার দিয়ে মাপা হয়। লব্ধি ভেক্টরের দিক একটি প্রোটেক্টর দিয়ে মাপা হয়।
খ. সামান্তরিক পদ্ধতি
জানা ভেক্টর A, B, এবং C। ভেক্টর A = 3 সেমি, x-অক্ষের (পূর্ব দিকে) সাথে মিলে যায়। ভেক্টর B = 2 সেমি, 30° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষের সাথে (উত্তর-পূর্ব দিকে)। ভেক্টর C = 1 সেমি 60° কোণ তৈরি করে।o এক্স-অক্ষের সাথে (উত্তর-পূর্ব দিকে) যুক্ত করুন। একটি সামান্তরিক ব্যবহার করে লেখচিত্রের মাধ্যমে A, B, এবং C যোগ করুন।
ক) R = A + B
খ) R = A – B
গ) R = A + B + C
d) R = A – B – C
লব্ধি ভেক্টর (R) একটি রুলার দিয়ে মাপা হয়। লব্ধি ভেক্টরের দিক একটি প্রোটেক্টর দিয়ে মাপা হয়।
৩. ভেক্টরের যোগ – কবিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি
লেখচিত্র পদ্ধতির মাধ্যমে লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করা একটি উপায়। ফলাফলের নির্ভুলতা আপনার অঙ্কন এবং স্কেল পাঠের সূক্ষ্মতার উপর নির্ভর করে। গাণিতিক গণনার মাধ্যমে লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক আরও নির্ভুলভাবে পাওয়া যায়।
ক. কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে দুটি ভেক্টরের যোগফল নির্ণয়।
লব্ধি ভেক্টরের মান নির্ণয়ের সূত্র:
লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্ণয়ের সূত্র:
C = লব্ধি ভেক্টর
A = ভেক্টর ১
B = ভেক্টর 2
cos ∠(A, B) = A এবং B ভেক্টর দ্বারা গঠিত কোণ
নমুনা সমস্যা ১:
F1 = 2 N x-অক্ষের সাথে 30° কোণ তৈরি করে, F2 ৩ নিউটন ৬০° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষ বরাবর, θ = 30o.
নমুনা সমস্যা ১:
F1 = 2 N x-অক্ষের সাথে মিলে যায়, F2 ৩ নিউটন ৬০° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষ বরাবর, θ = 90o.
খ. উপাংশের মাধ্যমে ভেক্টর যোগ করা
নিচের চিত্রে দেখানো x-অক্ষের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণ গঠনকারী ভেক্টর F পর্যালোচনা করুন। Fx এবং এফy হলো ভেক্টর F-এর উপাংশ ভেক্টরসমূহ।
উপাংশ ভেক্টরের মান নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:
Fx = F cos θ
Fy = F sin θ
দুটি ভেক্টর F পর্যালোচনা করুন।1 এবং এফ2 যা x-অক্ষের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণ তৈরি করে, যেমনটি নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। F1x এবং এফ1y ভেক্টর F এর উপাদানগুলো হলো1সুতরাং F2x এবং এফ2y ভেক্টর F এর উপাদানগুলো হলো2.
উপাদান ভেক্টরটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:
F1x = এফ1 cosθ
F1y = এফ1 পাপ θ
F2x = এফ2 cosθ
F1y = এফ1 পাপ θ
উপাদান ভেক্টরগুলো যোগ করা:
Fx = এফ1x + ফ2x
Fy = এফ1y + ফ2y
লব্ধি ভেক্টরটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:
লব্ধি ভেক্টরের দিক নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:
নমুনা সমস্যা ১:
ভেক্টর F-এর উপাংশগুলো নির্ণয় করুন, যার মান 20 N এবং যা 30° কোণ তৈরি করে।o এক্স-অক্ষ বরাবর।
Fx = (20 N)(cos 30o) = 17 N
Fy = (20 N)(sin 30o) = 10 N
নমুনা সমস্যা ১:
F1 ৩ নিউটন ৬০° কোণ তৈরি করে।o x-অক্ষ এবং F সম্পর্কে2 ১৫ নিউটন বল x-অক্ষের সাথে ১৮০° কোণ তৈরি করে। লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করুন।
F1x = (20 N)(cos 30o) = 17 N
F2x = এফ1 = – ১৫ নিউটন
F1y = (20 N)(sin 30o) = 10 N
F2y = 0
উপাদান ভেক্টরগুলো যোগ করা:
Fx = এফ1x - চ2x = ১৭ নিউটন – ১৫ নিউটন = ২ নিউটন
Fy = 10 এন
লব্ধি ভেক্টর:
F2 = এফx2 + ফy2 = 22 + + 102 = 4 + 100 = 104
F = 10.2N
লব্ধি ভেক্টরের দিক:
θ = tan-15 = 78.7o এক্স-অক্ষ সম্পর্কে
নমুনা সমস্যা ৩:
F1, এফ2, এবং এফ3 ২০° উত্তর, ৩০° উত্তর এবং ৪০° উত্তর। এফ1 ৩১৫° কোণ তৈরি করেo x-অক্ষ বরাবর, F2 ৩১৫° কোণ তৈরি করেo x-অক্ষ বরাবর, এবং F3 ৩১৫° কোণ তৈরি করেo x-অক্ষ বরাবর লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করুন।
F1x = (20 N)(cos 60o) = 10 N
F1y = (20 N)(sin 60o) = 17 N
F2x = (30 N)(cos 30o) = -২৬ নিউটন
F2y = (30 N)(sin 30o) = 15 N
F3x = (40 N)(cos 45o) = 28 N
F3y = (40 N)(sin 45o) = -২৬ নিউটন
উপাদান ভেক্টর যোগ করা:
Fx = এফ1x - চ2x + ফ3x = ১.৫ নিউটন – ৩ নিউটন + ৩ নিউটন = ১.৫ নিউটন
Fy = এফ1y + ফ2y - চ3y = ১০ নিউটন + ২০ নিউটন – ৫ নিউটন = ২৫ নিউটন
লব্ধি ভেক্টর:
F2 = এফx2 + ফy2 = 122 + + 42 = 144 + 16 = 160
F = 13N
লব্ধি ভেক্টরের দিক:
θ = tan-1 0.3 = 17o এক্স-অক্ষ সম্পর্কে
