একে পয়েসুই সমীকরণ বলা হয় কারণ এটি প্রয়াত জঁ লুই মারি পয়েসুই (১৭৯৯-১৮৬৯) আবিষ্কার করেছিলেন। যেমনটা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রতিটি তরলকেই আদর্শ তরল হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আদর্শ তরলের কোনো সান্দ্রতা নেই। যদি আমরা একটি আদর্শ তরলকে একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হওয়ার কল্পনা করি, তবে তরলটির প্রতিটি অংশ একই গতিতে (v) চলে। আদর্শ তরলের মতো নয়, বাস্তব তরল, বা দৈনন্দিন জীবনে আমরা যে তরলের সম্মুখীন হই, তার সান্দ্রতা থাকে। যেহেতু তাদের সান্দ্রতা আছে, তাই উদাহরণস্বরূপ, একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হওয়ার সময় তরলের প্রতিটি অংশের গতি ভিন্ন ভিন্ন হয়। মাঝখানের তরলের স্তরটি দ্রুত চলে (v বেশি), অন্যদিকে পাইপের সাথে সংযুক্ত তরলের স্তরটি চলে না, অর্থাৎ স্থির থাকে (v = 0)। সুতরাং, পাইপের কেন্দ্র থেকে প্রান্ত পর্যন্ত, তরলের প্রতিটি অংশ ভিন্ন ভিন্ন গতিতে চলে। আপনার বোঝার সুবিধার জন্য, নিচের ছবিটি দেখুন…
তথ্য :
R = পাইপ/নলের ব্যাসার্ধ
v1 = নলের কেন্দ্র/অক্ষ বরাবর তরল প্রবাহের হার
v2 r দূরত্বে তরল প্রবাহের হার2 নলের কিনারা থেকে
v3 r দূরত্বে তরল প্রবাহের হার3 নলের কিনারা থেকে
v4 r দূরত্বে তরল প্রবাহের হার4 নলের কিনারা থেকে
r = দূরত্ব
প্রতিটি তরলের প্রবাহের হার একই রাখার জন্য, যে কোনো পাইপ বা নলের মধ্য দিয়ে তরল প্রবাহিত হয়, তার দুই প্রান্তে চাপের পার্থক্য থাকা আবশ্যক। এখানে তরল বলতে আমরা বাস্তব তরল পদার্থকে বোঝাচ্ছি, যেমন পাইপের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত জল বা তেল, রক্তনালীর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত রক্ত ইত্যাদি। বাস্তব তরলকে মসৃণভাবে প্রবাহিত হতে সাহায্য করার পাশাপাশি, চাপের পার্থক্য বিভিন্ন উচ্চতার পাইপের মধ্যেও তরলকে প্রবাহিত হতে সাহায্য করে।
জঁ লুই মারি পোয়াজুই, মানব রক্ত সঞ্চালনের ভৌত দিকগুলিতে আগ্রহী একজন প্রাক্তন ফরাসি বিজ্ঞানী, চাপ পার্থক্য, একটি নলের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল এবং নলের আকারের মতো বিষয়গুলি কীভাবে একটি বাস্তব তরলের গতিকে প্রভাবিত করে তা অনুসন্ধান করার জন্য গবেষণা পরিচালনা করেছিলেন। জঁ লুই মারি পোয়াজুই কর্তৃক প্রাপ্ত ফলাফলগুলি পোয়াজুই সমীকরণ নামে পরিচিত।
পূর্বে প্রতিপাদিত সান্দ্রতা সহগ সমীকরণ ব্যবহার করে পয়েসুইল সমীকরণটি প্রতিপাদন করা যায়। আমরা সান্দ্রতা সমীকরণটি ব্যবহার করি কারণ ক্ষেত্রটি একই রকম না হলেও, প্রায় একই রকম। সান্দ্রতা সহগ সমীকরণ প্রতিপাদন করার সময়, আমরা দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যে একটি বাস্তব তরল স্তরের প্রবাহ বিবেচনা করি, এবং টান বলের (F) কারণে তরলটি চলাচল করতে পারে। পার্থক্যটি হলো, আমরা যে পয়েসুইল সমীকরণটি প্রতিপাদন করব, সেটি আসলে একটি পাইপ/নলের মধ্যে বাস্তব তরলের প্রবাহকে প্রভাবিত করে এমন উপাদানগুলো বর্ণনা করে, এবং চাপের পার্থক্যের কারণে তরলটি প্রবাহিত হয়। সুতরাং, সান্দ্রতা সহগ সমীকরণটিকে পুনরায় সমন্বয় করার প্রয়োজন হয়।
চাপের পার্থক্যের কারণে তরল প্রবাহিত হতে পারে (তরল উচ্চ চাপের স্থান থেকে নিম্ন চাপের স্থানে প্রবাহিত হয়), তাই আমরা F-কে p দ্বারা প্রতিস্থাপন করি।1 - পি2 (p1 পি2).
সান্দ্রতা সহগের সমীকরণ প্রতিপাদন করার সময়, আমরা দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যে একটি বাস্তব তরল স্তরের প্রবাহ বিবেচনা করি। তরলের প্রতিটি অংশ l দূরত্বে বেগের একটি নিয়মিত পরিবর্তন অনুভব করে। এক্ষেত্রে, নলের অক্ষ থেকে নলের প্রান্ত পর্যন্ত তরল প্রবাহের হার নিয়মিতভাবে পরিবর্তিত হয়। নলের অক্ষে থাকা তরলটি অধিক গতিতে (v) প্রবাহিত হয়। প্রান্তের দিকে যত অগ্রসর হওয়া যায়, তরলের গতি তত কমতে থাকে। নলের ব্যাসার্ধ = নলের অক্ষ এবং নলের প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব = R। তরলের প্রতিটি অংশ এবং নলের প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব = r। যেহেতু তরলের প্রতিটি অংশের সংখ্যা অনেক বেশি এবং নলের প্রান্ত থেকে তাদের দূরত্বও ভিন্ন ভিন্ন, তাই আমরা এটিকে সহজভাবে এভাবে লিখি:
v1 নলের কিনারা থেকে r1 দূরত্বে (r1 = R) তরলের গতিবেগ
v2 নলের কিনারা থেকে r2 দূরত্বে (r2 < r1) তরলের গতিবেগ
v3 নলের কিনারা থেকে r3 দূরত্বে (r3 < r2 < r1) তরলের গতিবেগ
v4 নলের কিনারা থেকে r4 দূরত্বে তরলের গতি (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = নলের কিনারা থেকে rn দূরত্বে তরলের বেগ (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
তরলের প্রতিটি অংশের সংখ্যা অনেক বেশি এবং এর প্রকৃত পরিমাণও আমরা সঠিকভাবে জানি না, তাই একে n প্রতীক দিয়ে লেখাই যথেষ্ট। নলের অক্ষ (r1 = R) থেকে নলের প্রান্ত (rn) পর্যন্ত, তরলের প্রতিটি অংশের হারের (v) নিয়মিত পরিবর্তন ঘটে। নলের অক্ষ (r1 = R) থেকে নলের প্রান্ত (rn) পর্যন্ত, তরলের প্রতিটি অংশের হারের পরিবর্তন ক্রমশ কমতে থাকে (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn)।
উপরের ব্যাখ্যা থেকে আমরা ধারণা করতে পারি যে, R থেকে rn পর্যন্ত তরল প্রবাহের হার হ্রাস পায়। পাইপের দৈর্ঘ্য = L। প্রাপ্ত সমীকরণটি হলো:
যেহেতু আমরা তরল প্রবাহের হার (v) বিবেচনা করছি, তাই সমীকরণ ২ দাঁড়ায়:
এটি হলো R ব্যাসার্ধের একটি পাইপ থেকে r দূরত্বে তরল প্রবাহের হারের সমীকরণ। উপরের ছবিটি দেখে যদি আপনি বিভ্রান্ত হন... অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে তরলটি একটি পাইপ বা নলের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হয়, তাই আমাদের তরলের আয়তন প্রবাহের হার পর্যালোচনা করতে হবে।
নলের ভিতরে একটি তরল পদার্থ আছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা তরলটিকে খুব ছোট ছোট টুকরোতে ভাগ করি, যেখানে প্রতিটি টুকরোর একক ক্ষেত্রফল dA, যা নলের অক্ষ থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থিত এবং যার প্রবাহের হার v। গাণিতিকভাবে, এটিকে নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে:
dA1 = তরল অংশ ১, যা টিউবের অক্ষ থেকে ১ দূরত্বে অবস্থিত।
dA2 = তরল অংশ ১, যা টিউবের অক্ষ থেকে ১ দূরত্বে অবস্থিত।
dA3 = তরল অংশ ১, যা টিউবের অক্ষ থেকে ১ দূরত্বে অবস্থিত।
.................................।
dA n = তরল অংশ n, যা টিউবের অক্ষ থেকে dA n দূরত্বে অবস্থিত।
তরল পদার্থের পরিমাণ এত বেশি যে, সুবিধাজনকভাবে সেগুলোকে শুধু n প্রতীক দিয়ে লেখা হয়। প্রতিটি তরল পদার্থের আয়তন প্রবাহের হার গাণিতিকভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:
তরলের প্রতিটি কণা r = 0 থেকে r = R (R = নলের ব্যাসার্ধ) দূরত্বে অবস্থিত। অন্য কথায়, নলের অক্ষ থেকে পরিমাপ করলে তরলের প্রতিটি কণার দূরত্ব পরিবর্তিত হয়। যদি আমরা ক্যালকুলাস (ইন্টিগ্রেশন) নিয়ে কাজ করি, তাহলে আমরা নলের মধ্যে তরলের আয়তন প্রবাহ হারের সমীকরণটি পাব:
তথ্য :
Q = ডেবিট
R = পাইপ বা নলের অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ
η = সান্দ্রতা সহগ
P1 - পি2 পাইপের দুই প্রান্তের চাপের পার্থক্য
L = পাইপের দৈর্ঘ্য
p1-p2/L = চাপের নতি (তরল প্রবাহ সর্বদা চাপ হ্রাসের দিকে যায়)
উপরোক্ত পয়েসুইল সমীকরণ অনুসারে, দেখা যায় যে তরলের আয়তন প্রবাহের হার, যা নিঃসরণ (Q) নামেও পরিচিত, নলের ব্যাসার্ধের (R) চতুর্থ ঘাতের সমানুপাতিক।4), চাপের গ্রেডিয়েন্ট (p2 - পি1 /L) এবং এটি সান্দ্রতার ব্যস্তানুপাতিক। যদি নলের ব্যাসার্ধ বাড়ানো হয় (সান্দ্রতা সহগ এবং চাপের গ্রেডিয়েন্ট স্থির থাকে), তাহলে তরল প্রবাহের হার ১৬ গুণ বৃদ্ধি পায়।
পাইপ, সিরিঞ্জ ইত্যাদির নকশার মূল ধারণায় এই সমীকরণটি ব্যবহৃত হয়। তরল নিঃসরণ R-এর সমানুপাতিক।4 (R = নলের ব্যাসার্ধ)। সিরিঞ্জের ব্যাসার্ধ বা পাইপের ব্যাসার্ধ সাবধানে গণনা করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সূঁচের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করি (r x 2), তাহলে যে তরল ছিটিয়ে বের হয় তা বুড়ো আঙুলের চাপ বলকে ১৬ গুণ বাড়িয়ে দেয়।
পোয়াসুইলের সমীকরণ আরও দেখায় যে ব্যাসার্ধের চতুর্থ ঘাত (r4এটি নলের দুই প্রান্তের চাপের পার্থক্যের ব্যস্তানুপাতিক। উদাহরণস্বরূপ, প্রাথমিকভাবে একটি রক্তনালীতে r অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধের মধ্যে দিয়ে রক্ত প্রবাহিত হয়। যদি রক্তনালীটি সংকুচিত করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, r/2 = রক্তনালীর অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ ২ গুণ কমানো হয়), তাহলে রক্তকে আগের মতো প্রবাহিত করার জন্য ১৬ গুণ চাপের পার্থক্যের প্রয়োজন হবে (যাতে রক্ত নিঃসরণ বা রক্তের আয়তন প্রবাহের হার স্থির থাকে)।
