আর্কিমিডিসের সূত্র উপাদান
আপনি কি কখনো জাহাজ দেখেছেন? যদি সরাসরি না দেখে থাকেন, আশা করি টেলিভিশন বা ইন্টারনেটে দেখেছেন। খুব বেশি ভরের একটি জাহাজ ডোবে না, অথচ একটি ছোট, হালকা পাথর ডুবে যেতে পারে। এমনটা কেন হয়? প্লবতা এবং আর্কিমিডিসের নীতি সম্পর্কে ধারণা থাকলে এর উত্তরটি বেশ সহজ।
দৈনন্দিন জীবনে আমরা দেখতে পাই যে, কোনো তরলে রাখা বস্তু, যেমন একটি পাথর, তরলের বাইরে থাকার চেয়ে কম ওজনের হয়। মাটি থেকে একটি পাথর তুলতে আপনার অসুবিধা হতে পারে, কিন্তু সেই একই পাথর সুইমিং পুলের তলদেশ থেকে সহজেই তোলা যায়। এর কারণ হলো প্লবতা বল। বিভিন্ন গভীরতায় তরলের চাপের পার্থক্যের কারণে প্লবতা সৃষ্টি হয়। গভীরতার সাথে তরলের চাপ বাড়ে; তরল যত গভীর হয়, তার চাপও তত বেশি হয়। যখন কোনো বস্তুকে তরলে রাখা হয়, তখন বস্তুটির উপরের এবং নীচের তরলের মধ্যে চাপের পার্থক্য তৈরি হয়। বস্তুটির নীচে অবস্থিত তরলের চাপ, বস্তুটির উপরে অবস্থিত তরলের চাপের চেয়ে বেশি থাকে।
প্লবতা
ছবিতে একটি বস্তুকে পানিতে ভাসতে দেখা যাচ্ছে। বস্তুটির নিচের তরলের চাপ বস্তুটির উপরের তরলের চাপের চেয়ে বেশি। এর কারণ হলো, বস্তুটির নিচের তরলের গভীরতা বস্তুটির উপরের তরলের গভীরতার চেয়ে বেশি।2 h1).
F₂ = বস্তুর তলার উপর তরল দ্বারা প্রযুক্ত বল, F₁ = বস্তুর উপরের অংশের উপর তরল দ্বারা প্রযুক্ত বল, A = বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
F2 এবং F1 এর পার্থক্যই হলো বস্তুটির উপর তরল দ্বারা প্রযুক্ত মোট বল, যা প্লবতা বল নামে পরিচিত। প্লবতা বলের মান হলো:
F প্লবতা = F 2 − F 1
F buoyant = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F float = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F প্লবতা = ρ g A h
F প্লবতা = ρ g V
তথ্য :
ρ = তরলের ঘনত্ব
g = অভিকর্ষজ ত্বরণ
V = তরলের মধ্যে থাকা বস্তুটির আয়তন
ফলে, উপরে উল্লিখিত প্লবতা বলের (F buoyancy) মান প্রকাশকারী সমীকরণটি নিম্নরূপে লেখা যায়:
F float = ρ F g V → m = ρ V
F প্লবতা = m F g
F প্লবতা = w F
m F g = w F = নিমজ্জিত বস্তুর আয়তনের সমান আয়তনের তরলের ওজন।
আর্কিমিডিসের নীতি
উপরের সমীকরণ অনুসারে, আমরা বলতে পারি যে প্লবতা বল অপসারিত তরলের ওজনের সমান এবং অপসারিত তরলের আয়তন তরলে নিমজ্জিত বস্তুর আয়তনের সমান।
যদি কোনো বস্তুকে কোনো তরলে নিমজ্জিত করা হয় এবং বস্তুটির কেবল একটি অংশ ডুবে থাকে ও সেটি ভেসে ওঠে, তবে অপসারিত তরলের আয়তন হবে তরলে নিমজ্জিত বস্তুটির অংশের আয়তনের সমান। বস্তুটির আকৃতি বা আকার যাই হোক না কেন, সবগুলোর ক্ষেত্রেই একই ঘটনা ঘটবে। এটি আর্কিমিডিসের (২৮৭-২১২ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) কাজ, যা এখন আর্কিমিডিসের নীতি নামে পরিচিত।
আর্কিমিডিসের নীতিটি বলে যে:
যখন কোনো বস্তু কোনো তরলে সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে নিমজ্জিত হয়, তখন তরলটি বস্তুটির উপর একটি ঊর্ধ্বমুখী বল (প্লবতা বল) প্রয়োগ করে, যেখানে এই ঊর্ধ্বমুখী বলের (প্লবতা বল) মান অপসারিত তরলের ওজনের সমান হয়।
আর্কিমিডিসের গল্প
খ্রিস্টপূর্ব ২৮৭ থেকে ২১২ সালের মধ্যে জীবিত আর্কিমিডিসকে রাজা দ্বিতীয় হিয়েরন এই তদন্ত করার জন্য নিযুক্ত করেছিলেন যে, রাজার জন্য নির্মিত মুকুটটি খাঁটি সোনার তৈরি কি না। মুকুটটি খাঁটি সোনার তৈরি নাকি এতে অন্য কোনো ধাতু মেশানো আছে, তা নিয়ে আর্কিমিডিস প্রথমে বিভ্রান্ত ছিলেন। সমস্যাটি ছিল যে, মুকুটটির আকৃতি ছিল অনিয়মিত এবং এটি খাঁটি সোনা কি না তা নির্ধারণ করার জন্য এটিকে ধ্বংস করা সম্ভব ছিল না।
রাজার মুকুট খাঁটি সোনার তৈরি কিনা তা নির্ধারণ করার পদ্ধতিটি হলো, প্রথমে মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব নির্ণয় করে সেটিকে সোনার আপেক্ষিক গুরুত্বের সাথে তুলনা করা। যদি মুকুটটি খাঁটি সোনার তৈরি হয়, তবে মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব = সোনার আপেক্ষিক গুরুত্ব।
কোনো বস্তুর আপেক্ষিক গুরুত্ব হলো বাতাসে বস্তুটির ওজন এবং বস্তুটির সমান আয়তনের পানিতে বস্তুটির ওজনের অনুপাত। গাণিতিকভাবে, এটি লেখা হয়:
কোনো বস্তুর আয়তনের সমান আয়তনের পানির ওজন কীভাবে নির্ণয় করা যায়?
আর্কিমিডিসের মতে, কোনো বস্তুর সমান আয়তনের জলের ওজন = বস্তুটি ডুবে যাওয়ার সময় (সম্পূর্ণ বস্তুটি জলে নিমজ্জিত হলে) প্লবতা বলের মান। এটি জলে ওজন করার সময় বস্তুটির হারানো ওজনের সমান। সুতরাং:
মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে মুকুটটিকে বাতাসে ওজন করা হয় (বাতাসে মুকুটের ওজন)। এরপর, মুকুটটিকে জলে রাখা হয় এবং হারিয়ে যাওয়া মুকুটটির ওজন পাওয়ার জন্য আবার ওজন করা হয়। সুতরাং :
একবার মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব নির্ণয় করা হলে, সেটিকে সোনার আপেক্ষিক গুরুত্বের সাথে তুলনা করা হয়। সোনার আপেক্ষিক গুরুত্ব হলো ১৯.৩। যদি মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব সোনার আপেক্ষিক গুরুত্বের সমান হয়, তবে মুকুটটি খাঁটি সোনা দিয়ে তৈরি। কিন্তু, যদি মুকুটটি খাঁটি সোনা দিয়ে তৈরি না হয়, তবে মুকুটটির আপেক্ষিক গুরুত্ব সোনার আপেক্ষিক গুরুত্বের সমান হবে না।
জাহাজ কেন ডোবে না?
যদি কোনো বস্তুর ঘনত্ব পানির ঘনত্বের চেয়ে কম হয়, তবে বস্তুটি ভাসবে। বিপরীতভাবে, যদি কোনো বস্তুর ঘনত্ব পানির ঘনত্বের চেয়ে বেশি হয়, তবে বস্তুটি ডুবে যাবে। বেশিরভাগ জাহাজ লোহা এবং ইস্পাত দিয়ে তৈরি। লোহা এবং ইস্পাতের ঘনত্ব = ৭.৮ x ১০³ কেজি /মি³ যেখানে পানির ঘনত্ব = ১.০০ x ১০³ কেজি /মি³ । দেখে মনে হচ্ছে যে লোহা এবং ইস্পাতের ঘনত্ব পানির ঘনত্বের চেয়ে বেশি। এক্ষেত্রে, লোহা এবং ইস্পাতের আপেক্ষিক গুরুত্ব = ৭.৮। লোহা এবং ইস্পাত দিয়ে তৈরি জাহাজ ডুবে যাওয়ার কথা। জাহাজ কেন ডোবে না? জাহাজের মোট ঘনত্ব পানি বা সমুদ্রের পানির ঘনত্বের চেয়ে কম।
আর্কিমিডিসের সূত্রের উপর নমুনা প্রশ্ন
উদাহরণ প্রশ্ন ২:
একটি পুকুরের তলায় ৪০ কেজি ওজনের একটি পাথর আছে। যদি পাথরটির আয়তন ০.২ ঘনমিটার হয় , তবে পাথরটি তুলতে ন্যূনতম কত বলের প্রয়োজন হবে?
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
পাথরের ভর (m) = ৪০ কেজি
পাথরের আয়তন (V) = ০.৫ ঘনমিটার
পানির ঘনত্ব = ১০০০ কেজি/ মি³
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ s²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: সর্বনিম্ন F
উত্তর :
F প্লবতা = w F
F প্লবতা = m F g → m = pV
F প্লবতা = ρ F g V
F প্লবতা = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F প্লবতা = 200 kg m/ s²
F প্লবতা = ২০০ নিউটন
পাথরের ওজন (w) = মিলিগ্রাম
পাথরের ওজন = (৪০ কেজি)(১০ মি/ সে² )
পাথরের ওজন = ৪০০ কেজি মি/ সে²
পাথরের ওজন = ৪০০ নিউটন
একটি পাথর তুলতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বল:
পাথরের ওজন – প্লবতা বল = ৪০০ নিউটন – ২০০ নিউটন = ২০০ নিউটন।
উদাহরণ প্রশ্ন ২:
বাতাসে একটি বস্তুর ওজন = 5000 kg m/s² এবং পানিতে বস্তুটির ওজন = 4000 kg m/s² । যদি বস্তুটির ঘনত্ব = 2000 kg/m³ হয় , তবে বস্তুটির ভর এবং আয়তন কত? g = 10 m/ s²
আলোচনা
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ s²
বস্তুটির ঘনত্ব = ২০০০ কেজি/ মি³
পানির ঘনত্ব = ১০০০ কেজি/ মি³
বাতাসে বস্তুর ওজন = ৫০০০ কেজি মি/ সে²
পানিতে বস্তুর ওজন = ৪০০০ কেজি মি/ সে²
প্লবতা বল (F buoyant) = বাতাসে বস্তুর ওজন – পানিতে বস্তুর ওজন
F প্লবতা = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F প্লবতা = 1000 kg m/ s²
F প্লবতা = অপসারিত জলের ওজন
F প্লবতা = (পানির ভর)(গ্রাম)
F প্লবতা = (অপসারিত জলের আয়তন)(জলের ঘনত্ব)(গ্রাম)
অপসারিত জলের আয়তন = জলে নিমজ্জিত বস্তুর আয়তন 😉
সুতরাং বস্তুটির আয়তন = ০.১ ঘনমিটার
বস্তুটির ভর = ?
ρ = মি / ভি
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = ২০০ কেজি
বস্তুটির ভর = ২০০ কেজি
উদাহরণ প্রশ্ন ২:
একটি বেলুনকে ৫০০ কেজি ভার তুলতে হলে কী পরিমাণ হিলিয়াম প্রয়োজন হবে?
আলোচনা
হিলিয়ামের ঘনত্ব = ০.১৭৮৬ কেজি/ মি³
বায়ুর ঘনত্ব = ১.২৯৩ কেজি/ মি³
প্লবতা বল = অপসারিত বায়ুর ওজন = বোঝাই বস্তুর ওজন + হিলিয়ামের ওজন
প্লবতা বল = বোঝা বা ভারের ওজন + হিলিয়ামের ওজন
প্লবতা বল = (বোঝার ভর)(g) + (হিলিয়ামের ভর)(g)
প্লবতা বল = (বোঝার ভর + হিলিয়ামের ভর)g —- সমীকরণ ১
প্লবতা বল = অপসারিত বায়ুর ওজন
প্লবতা বল = (অপসারিত বায়ুর ভর)(g) —- সমীকরণ ২
আমরা সমীকরণ ১ এবং সমীকরণ ২ একত্রিত করি:
(বোঝার ভর + হিলিয়ামের ভর)(গ্রাম) = (অপসারিত বায়ুর ভর)(গ্রাম)
বোঝাই বস্তুর ভর + হিলিয়ামের ভর = অপসারিত বায়ুর ভর
৫০০ কেজি + (ρ হিলিয়াম)(V হিলিয়াম) = (ρ বায়ু)( V বায়ু)
৫০০ কেজি = (ρ বায়ু)(V বায়ু) – (ρ হিলিয়াম)( V হিলিয়াম)
অপসারিত বায়ুর আয়তন (V air) = বেলুনে ভরা হিলিয়ামের আয়তন (V helium)
500 কেজি = (ρ বায়ু - ρ হিলিয়াম) (V)
পৃথিবীর পৃষ্ঠে কোনো ওজন তুলতে এই পরিমাণ হিলিয়াম প্রয়োজন। বেলুনটিকে আরও উঁচুতে ভাসানোর জন্য হিলিয়ামের পরিমাণ বাড়াতে হয়। এর কারণ হলো, উচ্চতা বাড়ার সাথে সাথে বায়ুর ঘনত্ব কমে যায়।
