যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ আইনের উপর নমুনা প্রশ্ন

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্রের উপর ১৬টি প্রশ্নের উদাহরণ

মুক্ত পতন গতিতে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র

১. ২ কেজি ভরের একটি নারকেল ৬ মিটার উচ্চতা থেকে মুক্তভাবে পড়ছে। নারকেলটি যখন মাটিতে পৌঁছাবে তখন এর গতিশক্তি হবে… g = ১০ মি/সে²²
আলোচনা
এটা জানা আছে :
নারকেলের ভর (m) = ২ কেজি
উচ্চতা (h) = ১০ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে : গতিশক্তি (EK)
জওয়াব :

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি
যদি কোনো বস্তু মুক্তভাবে পড়তে থাকে, তবে তার কোনো প্রাথমিক বেগ থাকে না। যেহেতু কোনো প্রাথমিক বেগ নেই, তাই কোনো প্রাথমিক গতিশক্তিও থাকে না। প্রাথমিকভাবে, বস্তুটি ৬ মিটার উচ্চতায় থাকে, সুতরাং স্বাভাবিকভাবেই বস্তুটির একটি প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে। সুতরাং, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM) হলো_o) হলো মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)।
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = 120 জুল

চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
নিচের দিকে নামার সময় কোনো বস্তুর উচ্চতা কমে যায়, ফলে এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিও কমে যায়। মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি নষ্ট হয় না, বরং তা গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। যখন এটি ভূমিতে পৌঁছায়, তখন বস্তুটির উচ্চতা ভূমির উচ্চতার সমান হয় (h = 0), ফলে এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি শূন্য হয় (h = 0, সুতরাং EP = mgh = 0)। সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। সুতরাং, চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM) হলো_t) হলো গতিশক্তি (EK)।
EM_t = EK = ½ mv²

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ আইন :
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
EM_o = ইএম_t
EP = EK
১২০ = ইকে
একটি নারকেল যখন মাটিতে পৌঁছায় তখন তার গতিশক্তি হয় ১০০ জুল।

2. ২ কেজি ভরের একটি বল মুক্ত পতন ছবিতে দেখানো অবস্থান A থেকে। (g = 10 ms)^-2B বিন্দুতে পৌঁছানোর সময় গতিশক্তি বিভবশক্তির ২ গুণের সমান, সুতরাং ভূমি থেকে B বিন্দুর উচ্চতা হলো…

এ. ৬০ মিটার
খ. ৮০ মি
সি. ১০০ মি
ডি. ১২০ মি
পূর্ব 30 মিটার

আলোচনা
এটা জানা আছে :
বলটির ভর (m) = ০.৫ কেজি
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 ms^-2
উচ্চতা A (h_A) = ৬০০ মিটার
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে : উচ্চতা B (h_B)
জওয়াব :

Ketika bola tiba di titik B, energi kinetik bola di titik B sama dengan 2 kali energi potensial gravitasi bola di titik B.
EK = 2 EP
½ mv² = ২ মিলিগ্রাম/ঘন্টা_B
½ v² = ২ ঘ_B
v² = 2(2)(10) ঘন্টা_B
v² = ৪০ ঘণ্টা_B
হিটং গতি (v) বলটি যখন A বিন্দু থেকে পড়ার পর B বিন্দুতে পৌঁছায়।
v² = 2 gh = 2(10)(90–h_B) = 20(90–h_B)
v প্রতিস্থাপন করুন² উপরের সমীকরণে v এর সাথে² এই সমীকরণে।
v² = ৪০ ঘণ্টা_B
২০(৯০–ঘন্টা)_B) = ৪০ ঘণ্টা_B
1800-20 ঘন্টা_B = ৪০ ঘণ্টা_B
১০০ = ২০ ঘন্টা_B + ২০ ঘন্টা_B
১০০ = ২০ ঘন্টা_B
h_B = 1800/60
h_B = ১৫ মিটার
সঠিক উত্তরটি হলো E।

৩. ১ কেজি ভরের একটি বস্তু ৮০ মিটার উঁচু একটি বহুতল ভবনের ছাদ থেকে মুক্তভাবে পড়ছে। যদি বাতাসের ঘর্ষণ উপেক্ষা করা হয় এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) ১০ মি/সে² হয়² সুতরাং, বস্তুটি যখন ভূমি পৃষ্ঠে পৌঁছায় তখন তার গতিশক্তি হলো...
আলোচনা
এটা জানা আছে :
মাসা (মি) = 1 কেজি
উচ্চতা (h) = ৮০ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে কোনো বস্তুর গতিশক্তি (EK) যখন বস্তুটি ভূপৃষ্ঠে পৌঁছায়
জওয়াব :
বস্তু অবাধে পড়ে, তাই এর কোনো প্রাথমিক গতিবেগ থাকে না। সুতরাং, যখন এটি ৮০ মিটার উচ্চতায় থাকে, তখন বস্তুটির মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে কিন্তু কোনো গতিশক্তি থাকে না (v = 0, তাই EK = ½ mv²)।² = 0)। সুতরাং প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)।

EM _o = EP = mgh = (1)(10)(80) = 800 জুল

মুক্ত পতনের সময়, মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। যখন কোনো বস্তু ভূমিতে আঘাত করে, তখন এর সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। সুতরাং, যখন এটি ভূমিতে পৌঁছায়, তখন বস্তুটির গতিশক্তি থাকে কিন্তু কোনো মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে না (h = 0, তাই EP = mgh = 0)। অতএব, চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM _t ) = গতিশক্তি (EK)

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্রানুসারে, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি চূড়ান্ত গতিশক্তির সমান।
EM_o = ইএম_t
EP = EK
১২০ = ইকে
বস্তুটি যখন ভূমিতে পৌঁছায় তখন এর গতিশক্তি (EK) হয় ৮০০ জুল।

৪. একটি বস্তু ভূমি থেকে ১০ মিটার উচ্চতা থেকে মুক্তভাবে পড়ছে। যদি বস্তুটির ভর ৪ কেজি এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = ১০ মি/ ^সে² হয় , তবে ভূমি থেকে ৫ মিটার উচ্চতায় বস্তুটির গতিশক্তি এবং বেগ হবে…

আলোচনা
এটা জানা আছে :
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = 10 – 5 = 5 মিটার
মাসা (মি) = 4 কেজি
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ৫ মিটার উচ্চতায় একটি বস্তুর গতিশক্তি
জওয়াব :
(ক) ২ মিটার উচ্চতায় থাকা একটি বস্তুর গতিশক্তি
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = 200 জুল
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t) = গতিশক্তি (EK)
EM_t = EK
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।
EM_o = ইএম_t
১২০ = ইকে
ভূমি থেকে ৫ মিটার উচ্চতায় কোনো বস্তুর গতিশক্তি ২০০ জুল।

(খ) ৫ মিটার উচ্চতায় বস্তুটির গতিবেগ
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
EP = EK
২০০ = ½ mv²
2(200) / 4 = v²
100 = v²
v = √100
v = ১০ মিটার/সেকেন্ড
বস্তুটির গতিবেগ ১০ মিটার/সেকেন্ড

৫. একটি আম ২ মিটার উচ্চতা থেকে অবাধে পড়ছে। যদি g = ১০ মি/সে² হয়^-2যান্ত্রিক শক্তির সূত্র ব্যবহার করে মাটিতে পড়ার ঠিক আগে আমটির গতিবেগ নির্ণয় করুন।
আলোচনা
এটা জানা আছে :
উচ্চতা (h) = ১০ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে : মাটিতে পড়ার ঠিক আগের মুহূর্তে আমের গতি (v)
জওয়াব :
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(2) = 20 m
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t) = গতিশক্তি (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।
EM_o = ইএম_t
৮০ মি = ½ মিভি²
৮০ = ½ v²
2(20) = v²
40 = v²
v = √40 = √(4)(10) = 2√10 মিটার/সেকেন্ড
মাটিতে পড়ার ঠিক আগে আমটির গতিবেগ হলো ২√১০ মিটার/সেকেন্ড।
এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে, আমাদের গণনায় আমরা বায়ু ঘর্ষণকে উপেক্ষা করেছি। বাস্তবে, পৃথিবীর পৃষ্ঠে কোনো বস্তু অবাধে পড়লে বায়ু ঘর্ষণও তার গতিকে প্রভাবিত করে, যার ফলে তার গতি উপরের গণনার চেয়ে কম হয়।

উল্লম্ব ও নিম্নগামী গতিতে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র

৬. ১ কেজি ভরের একটি বস্তুকে ৪০ মিটার উঁচু একটি ভবনের কিনারা থেকে ২ মি/সে প্রাথমিক বেগে উল্লম্বভাবে নিচের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটি যখন ভূমি থেকে ১০ মিটার উচ্চতায় থাকবে, তখন তার গতিশক্তি হবে… g = ১০ মি/ ^সে²

আলোচনা
এটা জানা আছে :
বস্তুর ভর (m) = ১ কেজি
প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
উচ্চতার পরিবর্তন = ৪০ – ১০ = ৩০ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ভূমি থেকে ১০ মিটার উচ্চতায় কোনো বস্তুর গতিশক্তি
জওয়াব :

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি
প্রাথমিকভাবে বস্তুটির মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি এবং গতিশক্তি থাকে।
প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 জুল
প্রাথমিক গতিশক্তি (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(2)² = ½ (4) = 2 জুল
সুতরাং প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + প্রাথমিক গতিশক্তি = ৩০০ + ২ = ৩০২ জুল।

চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
কোনো বস্তু নিচের দিকে নামার সময় তার উচ্চতা কমে যায়, ফলে তার মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিও হ্রাস পায়। এই মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। ৩০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করার পর, অথবা যখন বস্তুটি ভূমি থেকে ১০ মিটার উপরে থাকে, তখন তার সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে যায়।
সুতরাং, চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = চূড়ান্ত গতিশক্তি = প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + প্রাথমিক গতিশক্তি = ৩০০ + ২ = ৩০২ জুল।

৭. ১ কেজি ভরের একটি বস্তুকে ১০ মি/সে প্রাথমিক বেগে উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। নির্ণয় করুন (ক) সর্বোচ্চ বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (খ) বস্তুটির দ্বারা অর্জিত সর্বোচ্চ বিন্দু বা সর্বাধিক উচ্চতা… g = ১০ মি/সে²
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বস্তুর ভর (m) = ১ কেজি
প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি
জওয়াব :
(ক) সর্বোচ্চ বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি
প্রাথমিকভাবে বস্তুটির গতিশক্তি থাকে কিন্তু মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে না। প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = প্রাথমিক গতিশক্তি (EK) = ½ mv²_o² = ½ (1)(10)² = ½ (100) = 50 জুল।
 
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
উল্লম্বভাবে উপরের দিকে ওঠার পর বস্তুটির উচ্চতা বৃদ্ধি পায়, যার ফলে এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিও বৃদ্ধি পায়। এই মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি স্বতঃস্ফূর্তভাবে উৎপন্ন হয় না, বরং এটি গতিশক্তি থেকে উদ্ভূত হয়। সর্বোচ্চ উচ্চতায় বা সর্বোচ্চ বিন্দুতে, দিক পরিবর্তন করার আগে বস্তুটি এক মুহূর্তের জন্য স্থির থাকে। যেহেতু এটি এক মুহূর্তের জন্য স্থির থাকে, তাই এর বেগ শূন্য হয় এবং এর গতিশক্তিও শূন্য হয়। সমস্ত গতিশক্তি মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র:
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
EK = EP
৫০ = ইপি
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি হলো ৫০ জুল।

(খ) সর্বোচ্চ বিন্দু বা সর্বাধিক উচ্চতা
ইপি = mgh
১.২৫ = (০.১)(১০) ঘন্টা
১০০ = ২০ ঘন্টা
h = 50 / 10 = 5 মিটার
কোনো বস্তুর সর্বোচ্চ বিন্দু বা উচ্চতা ভূমি পৃষ্ঠ থেকে ৫ মিটার।

 

আনত তলে গতিশীল যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র

৮. স্থির অবস্থা থেকে একটি ব্লক একটি আনত তল বরাবর ঘর্ষণহীনভাবে পিছলে যায়। ব্লকটি যখন আনত তলের সর্বনিম্ন বিন্দুতে পৌঁছায় তখন তার গতিবেগ হলো… g = 10 m/s²
আলোচনা
এটা জানা আছে :
উচ্চতা (h) = ১০ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে আনত তলের তলদেশে পৌঁছানোর সময় ব্লকটির বেগ (v)।
জওয়াব :
যখন ব্লকটি ৮ মিটার উচ্চতায় থাকে, তখন এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে কিন্তু কোনো গতিশক্তি থাকে না, কারণ এটি তখনও নড়াচড়া করেনি। সুতরাং, ব্লকটির প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি হলো মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি।
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(8) = 80 m
ব্লকটি যখন নিচের দিকে নামতে শুরু করে, তখন এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হতে শুরু করে। যখন এটি আনত তলের একেবারে নিচে পৌঁছায়, তখন এর সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। সুতরাং, ব্লকটির চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি হলো গতিশক্তি।
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t) = গতিশক্তি (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।
EM_o = ইএম_t
৮০ মি = ½ মিভি²
৮০ = ½ v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 মি/সে
আনত তলের সর্বনিম্ন বিন্দুতে ব্লকটির গতিবেগ হলো 4√10 মিটার/সেকেন্ড।

৯. ১ কেজি ভরের একটি বস্তু, যা প্রাথমিকভাবে স্থির ছিল, তাকে ৮ মিটার দীর্ঘ একটি মসৃণ আনত তলের শীর্ষ থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। বস্তুটি আনত তলের উপর দিয়ে ৫ মিটার পিছলে যাওয়ার পর তার গতিশক্তি নির্ণয় করুন… (g = ১০ মি/সে²)²)
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বস্তুর ভর (m) = ১ কেজি
যে অতিভুজের মধ্য দিয়ে বস্তুটি যায় তার দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ৫ মিটার পিছলে যাওয়ার পর কোনো বস্তুর গতিশক্তি (EK)।
জওয়াব :
এই সমস্যাটি সমাধানের প্রথম ধাপ হলো, একটি আনত তলের উপর দিয়ে ৫ মিটার পিছলে যাওয়ার পর বস্তুটির উচ্চতার পরিবর্তন নির্ণয় করা।
পাপ 30^o = উল্লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য / অতিভুজের দৈর্ঘ্য
০.৫ = উল্লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য / ৫
উল্লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য = (0,5)(5) = 2,5 মিটার
বস্তুটির উচ্চতার পরিবর্তন ২.৫ মিটার।

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = 25 জুল
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t) = গতিশক্তি (EK)
EM_t = EK
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।
EM_o = ইএম_t
১২০ = ইকে
বস্তুটি ৫ মিটার পিছলে যাওয়ার পর এর গতিশক্তি হয় ২৫ জুল।

 

বক্রতলে গতিশীল যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র

১০. ১ কেজি ভরের একটি বস্তু কোনো প্রারম্ভিক বেগ ছাড়াই ঘর্ষণহীনভাবে ৫ মিটার উচ্চতা থেকে পিছলে পড়ে। সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিশক্তি এবং বেগ হলো… g = ১০ মি/সে²
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বস্তুর ভর (m) = ১ কেজি
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = ৫ মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিশক্তি (EK) এবং বেগ (v)
জওয়াব :

(ক) সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিশক্তি
যখন বস্তুটি ৫ মিটার উচ্চতায় থাকে এবং চলতে শুরু করে না, তখন এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে কিন্তু কোনো গতিশক্তি থাকে না, কারণ এটি তখনও স্থির থাকে। সুতরাং, বস্তুটি চলতে শুরু করার আগের প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি হলো মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি। বস্তুটি নিচের দিকে চলতে শুরু করলে, মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হতে শুরু করে। যখন এটি সর্বনিম্ন বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। সুতরাং, চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি হলো গতিশক্তি।
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = 50 জুল
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = গতিশক্তি
EM_t = EK = ½ mv_t²
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।.
EM_o = ইএম_t
EP = EK
১২০ = ইকে
সর্বনিম্ন বিন্দুতে গতিশক্তি (EK) হলো ৫০ জুল।

(খ) সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিবেগ
প্রথম উপায়:
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র:
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = গতিশক্তি (EK)
২০০ = ½ mv²
2(50) / m = v²
১০০ / ১ = ভি²
100 = v²
v = √100
v = ১০ মিটার/সেকেন্ড
 
দ্বিতীয় উপায়:
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ আইন :
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = গতিশক্তি (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(5) = v²
100 = v²
v = √100
v = ১০ মিটার/সেকেন্ড
সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিবেগ ১০ মি/সে।

১১. ২ কেজি ভরের একটি বস্তু প্রাথমিকভাবে স্থির অবস্থায় আছে এবং ভূমি থেকে ১০ মিটার উচ্চতা থেকে ঘর্ষণহীনভাবে পিছলে নামতে শুরু করে। ভূমি থেকে ২ মিটার উচ্চতায় বস্তুটির গতিশক্তি এবং বেগ হলো… g = ১০ মি/সে²²
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বস্তুর ভর (m) = ১ কেজি
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = 10 – 2 = 8 মিটার
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ভূমি পৃষ্ঠ থেকে ২ মিটার উচ্চতায় বস্তুটির গতিশক্তি (EK) এবং বেগ (v)।
জওয়াব :
এই সমস্যার সমাধানটি পূর্ববর্তী সমস্যার সমাধানের অনুরূপ।

(ক) ২ মিটার উচ্চতায় থাকা একটি বস্তুর গতিশক্তি
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = 160 জুল
চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = গতিশক্তি
EM_t = EK = ½ mv_t²
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি এবং চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি সমান হয়।.
EM_o = ইএম_t
EP = EK
১২০ = ইকে
২ মিটার উচ্চতায় গতিশক্তি (EK) হলো ১৬০ জুল।

(খ) সর্বনিম্ন বিন্দুতে বস্তুটির গতিবেগ
প্রথম উপায়:
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র:
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = গতিশক্তি (EK)
২০০ = ½ mv²
160 = ½ (2) v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 মিটার/সেকেন্ড

দ্বিতীয় উপায়:
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ আইন :
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = গতিশক্তি (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(8) = v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 মিটার/সেকেন্ড
২ মিটার উচ্চতায় কোনো বস্তুর গতিবেগ হলো ৪√১০ মিটার/সেকেন্ড।

১২. শীতকালে সুইডেনের পাহাড়ি অঞ্চলে আইস স্কেটিং প্রতিযোগিতা অনুষ্ঠিত হয়। চিত্র ২-এ দেখানো অনুযায়ী আইস স্কেটাররা 'এ' উচ্চতা থেকে স্লাইড করে।

যদি স্কিয়ারের প্রাথমিক গতিবেগ শূন্য হয় এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ 10 ms⁻² হয় ^, তাহলে B উচ্চতায় স্কিয়ারের গতিবেগ হবে…

এ. √2 ms ^-1

B. 5 √2 ms ^-1

C. 10 √2 ms ^-1

D. 20 √2 ms ^-1

E. 25 √2 ms ^-1

আলোচনা

এটা জানা যায় যে:

প্রাথমিক বেগ (v _o ) = 0

প্রাথমিক উচ্চতা (h _o ) = ৫০ মি – ১০ মি = ৪০ মি

চূড়ান্ত উচ্চতা (h _t ) = 0

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 ms ^-2

প্রশ্ন: শেষ বেগ (v _t )

উত্তর :

গতিশক্তির পরিবর্তন:

ΔEK = 1/2 মি (v_t² - v_o²) = ১/২ মি (v_t² - 0) = ১/২ মিলিভোল্ট_t²

বিভব শক্তির পরিবর্তন:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্রের সাহায্যে চূড়ান্ত বেগ (v _{t ) নির্ণয় করুন:}

0 = Δ EK + Δ EP

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

১/২ mv _t ² = ৪০০ মি

১/২ v _t ² = ৪০০

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 মি/সে

সঠিক উত্তরটি হলো D।

১৩. ১ কেজি ভরের একটি বল ছেড়ে দেওয়া হলো এবং এটি নিচের ছবিতে দেখানো একটি মসৃণ বক্রপথ বরাবর A অবস্থান থেকে C অবস্থানে পিছলে গেল। যদি অভিকর্ষজ ত্বরণ = 10 মি/সে^-2তাহলে, বলটি যখন C বিন্দুতে থাকে, তখন তার গতিশক্তি (Ek) হলো…

এ. ২,২৫০ জুল
খ. ১০ জুল
সি. ৮ জুল
ডি. ৪ জুল
ই. ২ জুল

আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
বলটির ভর (m) = ০.৫ কেজি
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = ০.৭৫ মিটার

প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = 7,5 জুল
প্রাথমিক গতিশক্তি (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ মি (0²) = 0টি
চূড়ান্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
প্রশ্ন: বলটি যখন C বিন্দুতে থাকে তখন তার গতিশক্তি (EK) কত?
উত্তর :

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্রানুসারে, কোনো বলের প্রাথমিক অবস্থানের যান্ত্রিক শক্তি তার চূড়ান্ত অবস্থানের চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তির সমান। এই সমস্যাটিতে, প্রাথমিক অবস্থান হলো বলটি ছেড়ে দেওয়ার আগের অবস্থান এবং চূড়ান্ত অবস্থান হলো C বিন্দু।

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_o) + প্রাথমিক গতিশক্তি (EK)_o) = চূড়ান্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_t) + চূড়ান্ত গতিশক্তি (EK)_t)
৭.৫ জুল + ০ = ০ + EK_t
৫০০ জুল = EK_t
C বিন্দুতে বলটির গতিশক্তি (EK) হলো ৭.৫ জুল।
সঠিক উত্তরটি হলো E।

১৪. ২ কেজি ভরের একটি বল A ছেড়ে দেওয়া হলো এবং এটি ছবিতে দেখানো মসৃণ পথ বরাবর চলে। যদি অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² হয়^-2যখন বলটির গতিশক্তি B-তে আছে…

এ. ২,২৫০ জুল
খ. ১০ জুল
সি. ৮ জুল
ডি. ৪ জুল
ই. ২ জুল

আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
বলটির ভর (m) = ০.৫ কেজি
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = ২০ সেমি = ০.২ মিটার

প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = 24 জুল
প্রাথমিক গতিশক্তি (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ মি (0²) = 0টি
চূড়ান্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
প্রশ্ন: B বিন্দুতে বলটির গতিশক্তি
উত্তর :
A বিন্দুতে বলটির যান্ত্রিক শক্তি (প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি) এবং B বিন্দুতে বলটির যান্ত্রিক শক্তি (চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি) একই।

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_o) + প্রাথমিক গতিশক্তি (EK)_o) = চূড়ান্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP)_t) + চূড়ান্ত গতিশক্তি (EK)_t)
৭.৫ জুল + ০ = ০ + EK_t
EK_t = ২,৩৭৬,০০০ জুল
C বিন্দুতে বলটির গতিশক্তি (EK) হলো ৭.৫ জুল।
সঠিক উত্তরটি হলো E।

 

পরাবৃত্তীয় গতিতে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র

১৫. ০.১ কেজি ভরের একটি বলকে ১০ মি/সে বেগে লাথি মারা হলো। যদি উন্নতি কোণ ৩০° হয়^o এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ হলো 10 মি/সে²।² নির্ণয় করুন (ক) সর্বোচ্চ বিন্দুতে বলটির মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি এবং (খ) সর্বোচ্চ বিন্দু বা সর্বাধিক উচ্চতা।
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বলটির ভর (m) = ০.৫ কেজি
প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
উন্নয়ন কোণ = ৩০^o
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে সর্বোচ্চ বিন্দুতে বলটির গতিশক্তি (EK)
জওয়াব :

(ক) সর্বোচ্চ বিন্দুতে বলটির মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি
নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী বলটির গতিপথ একটি অধিবৃত্ত।
প্রথমে অনুভূমিক দিকে প্রাথমিক বেগের উপাংশ (v) গণনা করুন।_ox) এবং উল্লম্ব (v_oy).
যদি পরাবৃত্তাকার গতির পথটি উপরের ছবির মতো হয়, তাহলে অনুভূমিক বা আনুভূমিক দিকের গতিকে এইভাবে বিশ্লেষণ করা হয়। অভিন্ন রৈখিক গতি এবং উল্লম্ব দিকের গতিবিধিকে বিশ্লেষণ করা হয় ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতিসমরৈখিক গতিতে, বেগ পুরো গতি জুড়ে স্থির থাকে। এর বিপরীতে, ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতিতে, যখন বস্তুটি তার সর্বোচ্চ উচ্চতা বা সর্বোচ্চ বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন দিক পরিবর্তন করার আগে এটি এক মুহূর্তের জন্য থেমে যায়। সুতরাং, সর্বোচ্চ বিন্দুতে বস্তুটির উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়, কিন্তু সেই সর্বোচ্চ বিন্দুতেও বস্তুটির বেগ v থাকে।_ox.

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি
যখন বলটি চলতে শুরু করে, তখন এর উচ্চতা মেঝে বা ভূমির সমান থাকে (h = 0), তাই এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি শূন্য হয় (h = 0, সুতরাং EP = mgh = 0)। বিপরীতভাবে, যখন এটি চলতে শুরু করে, তখন বলটির একটি সর্বোচ্চ প্রাথমিক বেগ থাকে, তাই এর গতিশক্তিও সর্বোচ্চ হয়। অতএব, বলটির প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তিই হলো গতিশক্তি।
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = গতিশক্তি (EK)
EM_o = EK = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 জুল

চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি
চলতে শুরু করার পর বলটির উচ্চতা বাড়ে, ফলে এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিও বৃদ্ধি পায়। যখন এটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছায়, তখন এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি সর্বোচ্চ মানে পৌঁছায়। বলটির গতিশক্তির কী হবে? সর্বোচ্চ বিন্দুতে বলটির উল্লম্ব বেগ (voy) শূন্য থাকে, কিন্তু এর তখনও একটি অনুভূমিক বেগ (vox) থাকে।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় গতিশক্তি :
EK = ½ mv_ox² = ½ (0,1)(5√3)² = ½ (0,1)((25)(3)) = ½ (0,1)(75) = 3,75 জুল

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র:
প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি (EM)_o) = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি (EM)_t)
EK = EP + EK
৫ = ইপি + ৩.৭৫
EP = ৫ – ৩.৭৫ = ১.২৫ জুল
সর্বোচ্চ উচ্চতায় মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি হলো ১.২৫ জুল।
 
(খ) সর্বোচ্চ বিন্দু বা সর্বাধিক উচ্চতা
ইপি = mgh
১.২৫ = (০.১)(১০) ঘন্টা
১.২৫ = h
সর্বোচ্চ উচ্চতা ৫ মিটার।

১৬. ০.১ কেজি ভরের একটি বলকে ১০ মিটার উঁচু একটি ভবনের কিনারা থেকে ১০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। যদি ঐ স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² হয়, তবে বলটির ভর কত?²তাহলে, বলটি যখন মাটিতে পৌঁছায় তখন তার গতিশক্তি হলো…
আলোচনা
এটা জানা আছে :
বলটির ভর (m) = ০.৫ কেজি
প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
উচ্চতার পরিবর্তন (h) = 10 – 2 = 8 মিটার
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ২ মিটার উচ্চতায় বলটির গতিশক্তি
জওয়াব :
যখন বলটি ১০ মিটার উঁচুতে থাকে, তখন এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি থাকে। বলটিকে ১০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক বেগে নিক্ষেপ করার পর এটি চলতে শুরু করে, তাই এর গতিশক্তিও থাকে। সুতরাং, বলটির প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি হলো মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + গতিশক্তি।
প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 জুল
প্রাথমিক গতিশক্তি (EK) = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 জুল

বলটি নিচের দিকে নামার সাথে সাথে এর উচ্চতা হ্রাস পায়, ফলে এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তিও কমে যায়। যখন এটি ভূমিতে পৌঁছায়, তখন এর উচ্চতা ভূমির উচ্চতার সমান হয় (h = 0), তাই এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি শূন্য হয় (h = 0, সুতরাং EP = mgh = 0)। সমস্ত মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়।
চূড়ান্ত গতিশক্তি = প্রাথমিক মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + প্রাথমিক গতিশক্তি = ১০ + ৫ = ১৫ জুল