Как да изчислим квартили, децили и персентили в статистически данни
В статистиката често се налага да определим позицията на дадена стойност в набор от данни. Простото изчисляване на средната стойност или медианата не е достатъчно, тъй като тези мерки не успяват да опишат как са разпределени данните и как едно наблюдение се сравнява с други. Тук влизат в действие квартилите, децилите и персентилите. Тези три са позиционни мерки, които разделят сортираните данни на равни части. Тази статия разглежда дефинициите, общите стъпки и как да се изчислят квартили, децили и персентили както за единични, така и за групирани набори от данни.
-
1. Основна концепция: Данните трябва да бъдат сортирани
Преди да изчислим квартили, децили или персентили, най-важната стъпка е да сортираме данните от най-малкия към най-големия. След като данните са сортирани, можем да определим местоположението на квартилите, децилите или персентилите въз основа на техните индексни позиции.
Като цяло:
– Квартилите разделят данните на 4 части.
– Децилите разделят данните на 10 части.
– Персентилите разделят данните на 100 части.
На практика, квартили, децили и персентили обикновено се използват за анализ на резултатите от тестове, данни за доходите, антропометрични измервания (височина/тегло) и оценка на представянето.
-
2. Как да изчислим квартили (Q1, Q2, Q3)
A. Квартили в единични данни (негрупирани)
Квартилите се състоят от:
– Q1: долен квартил (25% от данните са под него)
– Q2: медиана (50%)
– Q3: горен квартил (75%)
Стъпки за изчисляване на единични квартили от данни:
1. Сортирайте данните.
2. Изчислете позицията на квартила, използвайки формулата за позиция:
– Позиция Q1 = \((n+1)/4\)
– Позиция Q2 = \(2(n+1)/4\) или \((n+1)/2\)
– Позиция Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ако позицията е цяло число, вземете стойността на тази позиция. Ако позицията е дроб, интерполирайте (вземете стойността между двете най-близки точки от данни).
Един бърз пример:
Сортирани данни: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Позиция Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → е между 2-рата и 3-тата данни.
Така че Q1 е между 6 и 7. Интерполация:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
Б. Квартили в групирани данни (честотно разпределение)
За групирани данни (напр. класови интервали), квартилите се изчисляват по формулата:
\[
Q_k = L + ((k4n – F)f) умножено по c
\]
Информация:
– \(Q_k\): k-ти квартил (k = 1,2,3)
– \(L\): долен ръб на квартилния клас
– \(n\): брой данни (обща честота)
– \(F\): кумулативна честота преди квартилния клас
– \(f\): честота в квартилен клас
– \(c\): дължина на класа
Общи стъпки:
1. Създайте кумулативна честота.
2. Определете местоположението на квартила: \(k/4 \uмножено по n\).
3. Намерете класа, който съдържа тази позиция.
4. Въведете във формулата.
-
3. Как да изчислим децили (D1 до D9)
Децилите разделят данните на 10 части, така че:
– \(D_1\) показва долната граница от 10% от данните,
– \(D_5\) е равно на медианата,
– \(D_9\) показва ограничението от 90% данни.
A. Децили в единични данни
Формула за децилна позиция:
\[
\text{Позиция} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
с (k = 1, 2, 9).
След като позицията е получена, методът за вземане на стойността е същият като за квартила: ако е цяло, вземете го директно, ако е дробно, интерполирайте.
-
Б. Децили в групирани данни
Децилна формула за групирани данни:
\[
D_k = L + ((k10n – F)f) умножено по c
\]
Описанието е същото като квартила, само че делителът е 10.
Лангка:
1. Изчислете \(k/10 \умножено по n\).
2. Определете децилния клас въз основа на кумулативната честота.
3. Заместете във формулата.
Децилите често се използват в икономическия анализ, например разделянето на доходите на хората на 10 групи (децил 1 е най-бедният, а децил 10 е най-богатият).
-
4. Как да изчислим персентилите (P1 до P99)
Персентилите са по-подробни, защото разделят данните на 100 части. Стойността P25 = Q1, P50 = медиана и P75 = Q3. Това означава, че квартилите всъщност са частен случай на персентилите.
А. Перцентили върху единични данни
Формула за процентилна позиция:
\[
\text{Позиция} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
с (k = 1, 2, 99).
Процедурата е същата: сортиране на данните, изчисляване на позицията, след което вземане на стойността или интерполиране.
-
Б. Персентили в групирани данни
Формула за процентил на групирани данни:
\[
P_k = L + ((k100n – F)f) умножено по c
\]
Стъпките са идентични с тези за децили/квартили:
1. Определете позицията \(k/100 \uмножено по n\).
2. Намерете процентилния клас на кумулативната честота.
3. Използвайте формулата.
Персентилите често се използват при академични и здравни оценки. Например, ръстът на детето на 80-ия персентил означава, че детето е по-високо от 80% от децата на неговата или нейната възраст.
-
5. Важни съвети и често срещани грешки
1. Данните трябва да бъдат сортирани (особено за единични данни). Без сортиране, квартилите/децилите/перцентилите са безсмислени.
2. Уверете се, че използвате класови ръбове върху групирани данни (не класови граници), ако използвате непрекъснати концепции.
3. Кумулативната честота трябва да е правилна, защото квартилният/децилният/перцентилният клас се определя от натрупаната честота.
4. Обърнете внимание на продължителността на класа (c). Продължителността на класа не трябва да е грешна, защото това влияе върху резултатите от изчисленията.
5. Интерполацията е важна, когато позициите не са закръглени. Много студенти веднага закръгляват позициите, въпреки че това може да намали точността.
-
6. Затваряне
Квартилите, децилите и персентилите са важни статистически инструменти за разбиране на разпределението на данните. Квартилите са подходящи за прости обобщения (напр. в боксова диаграма), децилите са полезни за по-подробни групировки, като например анализ на доходите, докато персентилите помагат за оценка на позицията на много специфичен индивид в популацията. Чрез разбиране на основните стъпки – подреждане на данни, определяне на позиция и използване на подходящите формули за единични или групирани данни – можете да изчислите квартили, децили и персентили с по-голяма точност и увереност.
Ако желаете, мога да добавя пълен пример за таблица с групирани данни (интервал, честота, кумулативна честота) и след това да изчисля подробно Q1, D7 и P85, за да е по-лесно за упражняване.
