Принципът и уравнението на Бернули

Материал за принципа и уравнението на Бернули

KКогато караме мотоциклет доста бързо, дрехите, които носим, ​​се надуват отзад. Ако все още не можете да карате мотоциклет, обърнете внимание на родителите или приятелите си, които карат мотоциклети. Гърбът на дрехите им обикновено се надува отзад, когато мотоциклетът се движи бързо. Понякога, когато вятърът духа силно, вратата на къщата може да се затвори сама. Дори вятърът да духа отвън, докато вратата е вътре в къщата.

Това може да се обясни с помощта на принципа на Бернули. Даниел Бернули (1700–1782) открива принцип, който може да се използва за обяснение някои от горните.

Принципът на Бернули

Принципът на Бернули гласи, че където скоростта на потока на течността е висока, налягането на течността е ниско. Обратно, ако скоростта на потока на течността е ниска, налягането се повишава. Когато мотоциклетът се движи бързо, скоростта на въздуха пред и до тялото ви е висока. По този начин налягането на въздуха се понижава. Задната част на тялото ви е блокирана от предната част на тялото ви, така че скоростта на въздуха зад тялото ви не се променя на висока (точно зад тялото ви). В резултат на това налягането на въздуха зад тялото ви се увеличава. Тъй като има разлика във въздушното налягане, където налягането на въздуха точно зад тялото ви е по-голямо, въздухът избутва ризата ви назад, правейки я да изглежда сякаш е издута отзад.

А какво ще кажете за врата, която се затваря сама, когато навън духа силен вятър? Въздухът отвън се движи по-бързо от въздуха вътре. В резултат на това налягането на въздуха отвън е по-ниско от налягането на въздуха вътре. Поради тази разлика в налягането, където налягането на въздуха вътре е по-високо, вратата се избутва навън. С други думи, вратата се движи от място с по-високо налягане на въздуха към място с по-ниско налягане на въздуха.

Уравнението на Бернули

Преди това научихме за принципа на Бернули. Бернули също така разви този принцип количествено. За да изведем уравнението на Бернули, приемаме постоянен, ламинарен поток на флуид, несвиваемост и нисък вискозитет, които могат да бъдат пренебрегнати.

В обсъждането на уравнението за непрекъснатост научихме, че дебитът на флуида може да варира и в зависимост от площта на напречното сечение на тръбата за поток. Въз основа на принципа на Бернули, обяснен по-горе, налягането на флуида също може да варира в зависимост от дебита на флуида. Налягането на флуида може да варира и в зависимост от височината на флуида. Връзката между налягане, дебит и височина на потока може да се получи от уравнението на Бернули.

Уравнението на Бернули е много важно, защото може да се използва за анализ на полети на самолети, водноелектрически централи, тръбопроводни системи и др. За да приложим общо уравнението на Бернули, което ще изведем, ще приемем, че флуидът тече през тръба за поток с неравномерни площи на напречното сечение и различни височини (вижте фигурата по-долу). За да изведем уравнението на Бернули, прилагаме теоремата за работа и енергия към флуида в областта на тръбата за поток. След това ще изчислим количеството флуид и работата, извършена за преместването му.

Непрозрачният цвят в тръбата за поток на изображението показва поток на флуид, докато белият цвят показва липса на флуид.

Флуидът в напречното сечение 1 (лявата страна) тече на разстояние L₁ и принуждава флуида в напречното сечение 2 (дясната страна) да се премести на разстояние L₂Тъй като площта на напречното сечение 2 отдясно е по-малка, дебитът на флуида от дясната страна на тръбата за поток е по-голям (Спомнете си уравнението за непрекъснатост). Това причинява разлика в налягането между напречното сечение 2 (дясната страна на тръбата за поток) и напречното сечение 1 (лявата страна на тръбата за поток) – Спомнете си принципа на Бернули. Флуидът отляво на напречното сечение 1 упражнява налягане P₁ върху течността отдясно и извършва работа от:

Тогава уравнението W₁ може да се запише като:

W₁ = стр₁ A₁ L₁

В напречно сечение 2 (дясната страна на тръбата за поток), работата, извършена върху флуида, е:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Отрицателният знак показва, че приложената сила е противоположна на посоката на движение. Следователно, флуидът извършва работа вдясно от сечение 2. Освен това, гравитационната сила също извършва работа върху флуида. В горния случай, определена маса флуид е изместена от сечение 1 на разстояние L.₁ да пресече сечение 2 до L₂, където обемът на флуида в напречното сечение 1 (A₁ L₁) = обем на флуида в напречното сечение 2 (A₂ L₂). Работата, извършена от гравитацията, е:

W₃ = − мг (ч₂ - ч₁)

W₃ = − мг/г₂ + мг₁)

W₃ = мг₁ - мг₂

Отрицателният знак се дължи на движението на флуида нагоре, обратно на посоката на гравитацията. По този начин общата работа, извършена върху флуида, както е показано на фигурата по-горе, е:

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

Теоремата за работата и енергията гласи, че общата работа, извършена върху системата, е равна на промяната в нейната кинетична енергия. Следователно можем да заменим работата (W) с промяната в кинетичната енергия (EK).₂ ‐ ЕК₁).

Можем да пренапишем горното уравнение като:

W = P₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

EK₂ ‐ ЕК₁ = Р₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

1⁄2 mV₂² – 1⁄2 mV₁² = Р₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

Маса на флуида, протичащ на разстояние L₁ върху напречно сечение А₁ = маса на флуида, протичащ на разстояние L₂ (напречно сечение А₂). Определена маса течност, да речем m, има обем A.₁L₁ и А₂ L₂ където А₁ L₁ = А₂ L₂ (L₂ по-дълга от L₁).

Сега заместваме или заместваме m в горното уравнение с m = ρ AL:

Това е уравнението на Бернули. Изведохме уравнението на Бернули въз основа на принципа за работа-енергия, така че то е форма на закона за запазване на енергията.

Информация :

P = Налягане

ρ = Плътност на флуида

v = Скорост на потока на флуида

g = Ускорение на гравитацията

h = Височина на тръбата/тръбата от повърхността на земята

Лявата и дясната страна на уравнението на Бернули по-горе могат да се отнасят до всякакви две точки по тръбата за поток, така че можем да пренапишем уравнението по-горе като:

Това уравнение гласи, че общата сума на количествата в уравнението има една и съща стойност в цялата тръба за поток.

Сега нека разгледаме уравнението на Бернули за някои случаи.

Уравнението на Бернули за флуиди в покой

Специален случай на уравнението на Бернули е за флуиди в покой (статични флуиди). Когато флуидът е в покой, той няма скорост. Следователно v₁ = v₂ = 0. В случай на неподвижна течност, можем да формулираме уравнението на Бернули като:

Ако h₂ - ч₁ = h, тогава това уравнение може да се запише като:

p₁ - стр.₂ = ρg(h)₂ - ч₁)

p₁ - стр.₂ = ρ gh

Уравнение на Бернули за тръби или тръби с еднаква височина

Ако височината на тръбата или тръбата за измерване на потока е еднаква, тогава уравнението на Бернули се променя на: