Движение на снаряда – проблеми и решения

27 Движение на снаряда – проблеми и решения

1. Куршум е изстрелян под ъгъл θ = 60 ^° със скорост 20 m/s. Ускорението на гравитацията е 10 m/s² ^. Какъв е интервалът от време, за да се достигне максималната височина?

Известни:

Началната скорост на куршума (v _o ) = 20 m/s

Ъгъл (θ) = 60 ^° C

Ускорение на гравитацията (g) = 10 ms ^–2

Желано: Времевият интервал за достигане на максималната височина

решение:

Началната скорост в хоризонтална посока (ос x):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

Началната скорост във вертикална посока (ос y):

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

Времевият интервал за достигане на максималната височина, изчислен по това уравнение:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = крайната скорост във вертикална посока = крайната скорост в най-високата точка = 0 m/s

v _oy = началната скорост в хоризонтална посока = 10√3 m/s

g = ускорение на гравитацията = 10 m/ ^s²

t = времеви интервал

Времевият интервал:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 секунди

2. Обект, проектиран под ъгъл. Височината на обекта е еднаква, когато интервалът от време = 1 секунда и 3 секунди. Какъв е интервалът от време на обекта във въздуха?

решение:

Обектът е във въздуха за 4 секунди.

3. Самолет се движи хоризонтално със скорост 50 m/s. На височина 2 km от самолета пада обект. Ускорение на гравитацията = 10 m/ s², какъв е интервалът от време, преди обектът да удари земята?

Известни:

Височина = 2 км = 2000 метра

Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ ^s²

Търси се: Времевият интервал (t)

решение:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

2000 = 1/2 (10) t ²

2000 = 5 t ²

t2 = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 секунди

4. Рита футболна топка се откъсва от земята под ъгъл θ = 45 ^° , като хоризонталата има начална скорост 25 m/s. Определете разстоянието X. Ускорението на гравитацията е 10 m/ ^s².

Известни:

Начална скорост (v₂o ₎ = 25 m/s

Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ ^s²

Ъгъл (θ) = 45 ^°

Търси се: X

решение:

Хоризонталният компонент на началната скорост:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Вертикалният компонент на началната скорост:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Движението на снаряда може да се разбере чрез анализ на хоризонталните и вертикалните компоненти на движението поотделно. Движението по осите x се случва с постоянна скорост, а движението по осите y се случва с постоянно ускорение на гравитацията.

Време във въздуха (t):

Времето във въздуха се изчислява с уравнението на вертикалното движение нагоре.

Изберете посока нагоре като положителна и посока надолу като отрицателна.

Известни:

Началната скорост (v₂o ₎ = 12.5√2 m/s (посока нагоре, положителна)

Ускорение на гравитацията (g) = -10 m/s² ⁽ посока надолу, отрицателно)

Височина (в) = 0

Търсен: Времеви интервал (t)

решение:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) ^t²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 секунди

Хоризонталното разстояние (X):

Изчислено с помощта на уравнението на равномерно линейно движение с постоянна скорост.

Известни:

Скорост (v) = 12.5√2 m/s

Времеви интервал (t) = 2.5√2 секунди

Търси се: Разстояние

решение:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 метра

5. Обект, проектиран нагоре под ъгъл θ = 30 ^o спрямо хоризонталата, има начална скорост 20 m/s. Ускорението на гравитацията е 10 m/s² ^. Определете максималната височина.

Известни:

Началната скорост (v_o) = 20 м/с

Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ ^s²

Ъгъл (θ) = 30 ^°

Желана височина : Максимална височина

решение:

Първо, намерете вертикалния компонент на началната скорост (v _oy ):

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

Изчислете максималната височина. Изберете посока нагоре като положителна, а посока надолу като отрицателна.

Известни:

Ускорение на гравитацията (g) = -10 m/s² ⁽ посока надолу, отрицателно )

Вертикалният компонент на началната скорост (v _oy ) = 10 m/s ( посока нагоре, положителна )

Скорост на максималната височина (v _ty ) = 0

Желана височина: Максимална височина (h)

решение:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) ч

0 = 100 – 20 часа

100 = 20 часа

h = 100/20

h = 5 метра

Максималната височина е 5 метра.

6. Предмет е хвърлен под определен ъгъл на издигане. Височината на предмета е същата след 1 секунда и 3 секунди. Определете времето, прекарано във въздуха.

А. 3.6 сек.

Б. 4.0 сек.

C. 5.6 сек.

D. 6.4 сек

Решение

Време във въздуха = 4 секунди.

Правилният отговор е Б.

7. Самолет се движи хоризонтално със скорост 50 m/s. Когато самолетът е на височина 2 km, от него може свободно да падне обект. Определете вида на движението.

А. Движение на свободно падане

Б. Плаващо движение

C. Хоризонтално движение

D. Движение на снаряда

решение:

Обектът се изпуска от движещата се равнина, защото има същата скорост като скоростта на самолета, т.е. 50 м/с. Движението на обектите не е като свободно падане, а параболично движение. Случаят е същият, както когато изпускате обекти от вътрешността на движеща се кола.

Верният отговор е Д.

8. Топка е хвърлена хоризонтално със скорост 15 м/с от скала с височина 60 метра. Колко време ѝ отнема да удари земята?
Решение: Използвайки \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), намираме, че времето е \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. Снаряд е изстрелян под ъгъл 30° над хоризонталата с начална скорост 20 m/s. Каква е максималната достигната височина?
Решение: Използвайки \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), максималната височина е \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. Камък е хвърлен хоризонтално със скорост 10 м/с от кула с височина 80 метра. Намерете хоризонталното разстояние, което изминава, преди да удари земята.
Решение: Използвайки времето, намерено по подобен начин на Задача 1, хоризонталното разстояние е (d = vt приблизително 40 m).

11. Гюле е изстреляно със скорост 40 м/с под ъгъл 45°. Намерете времето на полета му.
Решение: Използвайки \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), времето на полет е \( t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. Бейзболна топка е хвърлена под ъгъл 60° със скорост 12 m/s. Намерете хоризонталния обхват.
Решение: Използвайки \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), диапазонът е \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. Снаряд е изстрелян с начална скорост 50 m/s под ъгъл 37° над хоризонталата. Какъв е вертикалният компонент на скоростта?
Решение: Вертикалният компонент е \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. Снаряд е изстрелян хоризонтално със скорост 20 м/с от височина 100 метра. Каква е вертикалната скорост точно преди да удари земята?
Решение: Използвайки \( v_y = \sqrt{2gh} \), вертикалната скорост е \( v_y \приблизително 44.7\ \text{m/s} \).

15. Камък е хвърлен под ъгъл 25° над хоризонталата с начална скорост 15 m/s. Какви са хоризонталният и вертикалният компонент на скоростта?
Решение: Хоризонталният компонент е (v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), а вертикалният компонент е (v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).

16. Футболна топка е ритната с начална скорост 30 m/s под ъгъл 40° спрямо хоризонталата. Какъв е нейният хоризонтален компонент на скоростта?
Решение: Хоризонталният компонент е \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).

17. Топка за голф е ударена с начална скорост 70 m/s под ъгъл 20°. Какво е времето на полет?
Решение: Използвайки уравнението за времето на полета, времето е \( t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. Снаряд е изстрелян от земята със скорост 25 m/s под ъгъл 53° над хоризонталата. Какъв е началният му вертикален компонент на скоростта?
Решение: Вертикалният компонент е \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. Бейзболна топка е хвърлена с начална скорост 20 m/s под ъгъл 50°. Каква е максималната височина?
Решение: Използвайки уравнението за максимална височина, височината е \( h \приблизително 15.3\ \text{m} \).

20. Куршум е изстрелян хоризонтално със скорост 200 м/с от височина 10 метра. Колко време му отнема да удари земята?
Решение: Използвайки уравнението за времето, времето е \( t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. Гюле е изстреляно със скорост 45 м/с под ъгъл 30°. Намерете разстоянието.
Решение: Използвайки уравнението за диапазона, диапазонът е \( R \approx 88.2\ \text{m} \).

22. Баскетболна топка е хвърлена под ъгъл 75° със скорост 10 m/s. Намерете хоризонталния обхват.
Решение: Използвайки уравнението за диапазона, диапазонът е \( R \approx 5.3\ \text{m} \).

23. Снаряд е изстрелян с начална скорост 30 m/s под ъгъл 22° над хоризонталата. Каква е вертикалната скорост точно преди да удари земята?
Решение: Използвайки уравнението за вертикална скорост, вертикалната скорост е \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).

24. Камък е хвърлен хоризонтално със скорост 8 м/с от кула с височина 40 метра. Какво е хоризонталното разстояние, което изминава?
Решение: Използвайки уравнението за хоризонтално разстояние, разстоянието е \( d \approx 16\ \text{m} \).

25. Футболна топка е ритната с начална скорост 12 m/s под ъгъл 30° над хоризонталата. Какви са хоризонталният и вертикалният компонент на скоростта?
Решение: Хоризонталният компонент е \(v_x \приблизително 10.4\ \text{m/s} \), а вертикалният компонент е \(v_y \приблизително 6\ \text{m/s} \).

26. Топка за голф е ударена с начална скорост 50 m/s под ъгъл 15°. Какво е времето на полет?
Решение: Използвайки уравнението за времето на полета, времето е \( t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. Снаряд е изстрелян от земята със скорост 40 m/s под ъгъл 60° над хоризонталата. Какъв е началният му хоризонтален компонент на скоростта?
Решение: Хоризонталният компонент е \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).