Материал за уравнение за непрекъснатост
Опитайте се да отворите бавно крана за вода, докато наблюдавате потока вода, излизащ от него. След като кранът спре да се върти, частично го блокирайте с ръка. Сега сравнете кой поток вода е по-голям. Кога е частично блокиран или отблокиран? Ако имате маркуч, който обикновено се използва за поливане на цветя, оставете водата да тече през него. Частично блокирайте маркуча с ръка или пръст. Колкото по-голяма част от маркуча е блокирана, толкова по-бързо ще изтича водата. Обратно, ако маркучът не е блокиран, водата ще тече по-бавно. Защо е така? За да разберете това, моля, изучете уравнението за непрекъснатост.
Потоци и тръби за поток
Първо, нека разберем понятията за линии на течението и тръби за поток. Тази концепция е важна, защото ще ви помогне да разберете уравнението за непрекъснатост.
Линия на потока
Вижте изображението по-долу, синята линия е линията на обтекаемост.
При постоянен поток скоростта на всяка флуидна частица в точка, например точка А, остава постоянна. Докато преминава през точка Б, скоростта на флуидните частици може да се промени. Въпреки това, при достигане до точка Б, флуидните частици, следващи ги, продължават да текат със същата скорост като флуидните частици, които са ги предшествали. Същото важи и при достигане до точка В и т.н. Линията на течението е кривата, свързваща точки А, В и В.
Проточна тръба
По същество можем да начертаем всяка линия на тока през всяка точка от флуидния поток. Ако разгледаме постоянен флуиден поток, редица линии на тока, преминаващи под определен ъгъл върху въображаема повърхност (въображаема повърхност), образуват тръба за поток. Никакви флуидни частици не се пресичат помежду си, а винаги са успоредни и тръбата за поток ще наподобява тръба, която винаги има една и съща форма. Флуидът, влизащ в единия край на тръбата, ще излиза от нея в другия край.
дебит
Дебитът показва обема на флуид, протичащ през определено напречно сечение за определен интервал от време. Математически може да се изрази по следния начин:
За да по-добре разберете, нека използваме пример. Да предположим, че флуид тече през тръба. Тръбите обикновено са цилиндрични и имат определена площ на напречното сечение. Тръбата също има дължина.
Когато флуидът тече в тръбата до L, тогава обемът на флуида в тръбата е V = AL (V = обем на флуида, A = площ на напречното сечение и L = дължина на тръбата). Тъй като по време на протичането в тръбата по дължина на L флуидът изминава определен интервал от време, тогава можем да кажем, че големината на изтичането на флуид е:
Тъй като v = s/t = L/t —> L = vt, горното уравнение се променя на:
По този начин, когато флуидът тече през тръба с определена площ на напречното сечение и дължина за определен интервал от време, големината на изпускания флуид (Q) е равна на площта на напречното сечение (A), умножена по скоростта на потока на флуида (v).
Уравнение за непрекъснатост
Разгледайте потока на флуид в тръба с различни диаметри, както е показано на фигурата по-долу.
Това изображение показва потока на флуид отляво надясно (флуидът тече от тръба с голям диаметър към тръба с малък диаметър). Пунктираните линии са линии на тока.
Надпис на изображението: А1 = площ на напречното сечение на тръбния участък с голям диаметър, A2 = площ на напречното сечение на тръбния участък с малък диаметър, v1 = скорост на потока на флуида в тръбния участък с голям диаметър, v2 = скорост на потока на флуида в тръбната секция с малък диаметър, L = разстояние, изминато от флуида.
Във въведението към динамиката на флуидите беше обяснено, че във флуидната динамика разглеждаме потока на флуиди, които са несвиваеми, невискозни, нетурбулентни и стационарни. При стационарен поток скоростта на флуидните частици в дадена точка е същата като скоростта на други флуидни частици, преминаващи през тази точка. Флуидните потоци също не се пресичат (линиите на тока са успоредни). Следователно масата на флуида, влизащ в единия край на тръбата, трябва да е равна на масата на флуида, излизащ от другия край. Ако флуид с определена маса влезе в тръба с голям диаметър, тогава флуидът ще излезе от тръбата с малък диаметър с постоянна маса.
Сега погледнете снимката на тръбата по-горе. Вижте частта от тръбата с голям диаметър и частта от тръбата с малък диаметър.
През определен интервал от време, определено количество флуид преминава през секция от тръба с голям диаметър (A).1) доколкото L1 (L1 = v1 t). Обемът на протичащата течност е V1 = А1 L1 = А1 v1 т. През същия интервал от време, друго количество флуид преминава през секция от тръба с по-малък диаметър (A).2) доколкото L2 (L2 = v2 t). Обемът на протичащата течност е V2 = А2 L2 = А2 v2 t.
Уравнение за непрекъснатост за несвиваеми флуиди (несвиваеми)
Първо, нека разгледаме случая на несвиваем флуид. В несвиваем флуид плътността или масата на флуида е винаги една и съща във всяка точка, през която преминава. Масата на флуида, течащ в тръба с площ на напречното сечение A, е1 (голям диаметър на тръбата) през определен интервал от време е:
По същия начин, масата на флуида, течащ в тръба с площ на напречното сечение A2 (малък диаметър на тръбата) през определен интервал от време е:
Като се има предвид, че при постоянен поток масата на влизащата течност е същата като масата на излизащата течност, тогава:
m1 = m2
ρ А1 v1 t = ρ A2 v2 t (плътността на флуида и интервалът от време са еднакви, така че се неутрализират)
A1 v1 = А2 v2
Така че, в несвиваеми флуиди, уравнението за непрекъснатост важи:
A1 v1 = А2 v2 — Уравнение 1
Информация :
A1 = площ на напречното сечение 1, A2 = площ на напречното сечение 2, v1 = скорост на потока на флуида в напречно сечение 1, v2 = скорост на потока на флуида в напречно сечение 2, A v = обемен дебит V/t, известен още като дебит
Уравнение 1 показва, че обемният дебит, известен още като дебит, е винаги един и същ във всяка точка по протежение на тръбата или тръбата за поток. С намаляването на напречното сечение на тръбата, дебитът на флуида се увеличава; обратно, с увеличаването на напречното сечение на тръбата, дебитът на флуида намалява.
Когато запушим частично крана, водният поток става по-бърз, отколкото когато кранът е частично затворен. Това е така, защото напречното сечение на крана намалява, когато кранът е частично затворен, което увеличава дебита на водата (течността тече по-бързо). Същото важи и за маркучите. Важно е обаче да се отбележи, че дебитът или обемният дебит остава един и същ във всички точки по протежение на водния поток, независимо дали кранът е частично затворен или не. И така, това, което се променя, е дебитът на течността.
И така, какво да кажем за водния поток в една река? По-дълбоките участъци на реката имат по-голямо напречно сечение от по-плитките участъци, така че скоростта на водния поток в по-дълбоките участъци е по-ниска, отколкото в по-плитките участъци. Ако видите много спокойно речно течение, това означава, че реката е дълбока. Но ако реката внезапно стане бързотечаща, този участък определено е плитък. Въпреки това, скоростта на обемния воден поток винаги е една и съща, независимо дали е в дълбоки или спокойни участъци на реката.
Уравнение за непрекъснатост за свиваеми флуиди (свиваем)
В случая на свиваем флуид (свиваем), плътността на флуида не винаги е еднаква. С други думи, плътността на флуида се променя, когато се компресира. Ако елиминираме плътността на флуида от уравнението за несвиваем флуид, тогава в този случай плътността на флуида все още е включена. Използвайки предварително изведеното уравнение като ориентир, нека изведем уравнението за свиваем флуид.
Като се има предвид, че при постоянен поток масата на влизащата течност е същата като масата на излизащата течност, тогава:
m1 = m2
ρ А1 v1 t = ρ A2 v2 t
Времевият интервал на протичане на флуида е същият, така че може да се елиминира. Уравнението се променя на:
ρ А1 v1 = ρ A2 v2 → Уравнение 2
Това е уравнението за свиваем флуид. Единствената разлика е в плътността на флуида. Когато флуидът се свива, неговата плътност се променя. Обратно, когато флуидът е несвиваем, неговата плътност остава постоянна и може да се неутрализира.
Примерен въпрос 1:
Водата тече през тръба с диаметър 10 см със скорост 2 м/с. Какъв е дебитът на водата?
Дискусия
Известно е, че:
Диаметър на тръбата = 10 см (това е вътрешният диаметър на тръбата)
Радиус на тръбата (r) = 5 см = 0,05 м
v вода = 2 м/с
Попитано: дебит
Отговор:
Q = A v
Q = (πr2) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м)2 (2 м/сек)
Q = (3,14)(0,0025 м2)(2 м/с)
Q = 0,0157 м3 / с
Примерен въпрос 2:
Водопроводна тръба с диаметър 20 см е свързана с друга тръба с диаметър 10 см. Ако дебитът на водата в тръбата с диаметър 20 см = 4 м/с, какъв е дебитът на водата в тръбата с диаметър 10 см?
Дискусия
Известно е, че:
Диаметър 1 = 20 см (r1 = 10 см = 0,1 м)
v1 = 4 m/s
Диаметър 2 = 10 см (r2 = 5 см = 0,05 м)
Зададен: v1
Отговор:
Q1 = Q2
A1 v1 = А2 v2
(πr12) (4 м/с) = (πr22) (в2)
(0,1 m)2 (4 м/с) = (0,05 м)2 (v2)
(0,01 м2)(4 м/с) = (0,0025 м2)(в2)
(0,04 м3 /с) = (0,0025 м2)(в2)
v2 = 16 m/s
