Как да изчислим стандартното отклонение
Стандартното отклонение е една от най-често използваните статистически мерки за определяне на това колко „разпръснати“ са данните спрямо средната им стойност. В реалния живот стандартното отклонение ни помага да разберем стабилността или вариацията на дадено явление: например вариации в резултатите от тестовете, колебания в продажбите, разлики във височината и дори рисковете във финансовите данни. Колкото по-малко е стандартното отклонение, толкова по-близо са данните до средната стойност. Обратно, голямото стандартно отклонение показва, че данните са далеч от средната стойност и имат голяма вариация.
Тази статия ще обсъди значението на стандартното отклонение, използваната формула и стъпките за ръчното му изчисляване чрез лесни за разбиране примери.
1. Определение на стандартно отклонение
Стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията. Самата дисперсия е средната стойност на квадратите на разликите между всяка точка от данните и средната стойност. Защо се използва квадрат? Защото разликите между точките от данните и средната стойност могат да бъдат отрицателни или положителни. Ако се сумират директно, отрицателните и положителните разлики могат да се неутрализират взаимно, което води до подвеждащи резултати. Чрез повдигане на квадрат на разликите всички стойности стават положителни, което позволява по-точно измерване на разпределението на данните.
Просто:
– Дисперсия = мярка за разсейване в „квадратни“ единици.
– Стандартно отклонение = мярка за разсейването, което се е върнало към първоначалните единици данни.
Пример: ако данните са под формата на резултати от тестове (точкови единици), дисперсията ще бъде в точки, докато стандартното отклонение отново ще бъде в точки, което улеснява интерпретацията.
2. Стандартно отклонение на популацията спрямо извадката
Преди да изчислите, е важно да знаете какъв тип данни имате:
1. Население: данните включват всички членове, които ще бъдат изследвани.
Формулата за стандартно отклонение на популацията използва делителя N (брой данни).
2. Извадка: данните са само част от генералната съвкупност, обикновено се използват за представяне на по-голяма генерална съвкупност.
Формулата за стандартно отклонение на извадката използва делител (n − 1), за да коригира отклонението в оценката. Тази корекция се нарича корекция на Бесел.
В ежедневната практика (напр. изследвания, анкети, анализ на класове), данните често се считат за извадка, така че делителът е (n − 1).
3. Формула за стандартно отклонение
A. Формула за стандартно отклонение на популацията
Да предположим, че данните: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Средно население:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Дисперсия на популацията:
\[
σ² = (sum_{i=1}^{N}(x_i – μ)^2}{N)
\]
Стандартно отклонение на популацията:
\[
σ = σ²
\]
Б. Примерна формула за стандартно отклонение
Средна стойност на извадката:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Дисперсия на извадката:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Стандартно отклонение на извадката:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Стъпки за ръчно изчисляване на стандартното отклонение
За да улесним разбирането, използваме примера с данни за резултатите от изпитите на 5 студенти:
Данни: 60, 70, 70, 80, 90
Да приемем, че тези данни са извадка (често срещано в учебните примери).
Стъпка 1: Изчислете средната стойност
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Така че средният резултат е 74.
Стъпка 2: Изчислете разликата между всяка от данните и средната стойност
Създайте колона за разлика \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Стъпка 3: Повишаване на разликата на квадрат
Изчислете \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Стъпка 4: Съберете квадратите на разликите
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Стъпка 5: Изчислете дисперсията (за извадка, разделете на n − 1)
Тъй като n = 5, тогава n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Така че дисперсията на извадката е 130.
Стъпка 6: Изчисляване на квадратен корен от дисперсията за получаване на стандартното отклонение
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Така че стандартното отклонение на данните е приблизително 11,40. Това означава, че средно резултатите на учениците се отклоняват с приблизително 11 точки от средната стойност от 74.
5. Бърз начин: Алтернативна формула (изчисление)
Освен горепосочения ръчен метод, има и изчислителна формула, която често се използва за ускоряване на изчисленията, особено ако има много данни:
Дисперсия на извадката:
\[
s^2 = ∫_{сума x_i^2 – ∫_{(сума x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Тази формула избягва изчисляването на разликите една по една, но все пак изисква прецизност при изчисляване на сумата от квадратите на данните.
Въпреки това, за концептуално разбиране, методът стъпка по стъпка (разлика → квадрат → сума) обикновено е по-лесен и по-безопасен от грешки.
6. Интерпретация на стандартното отклонение
Стандартното отклонение не се ограничава само до числа, а трябва да бъде интерпретирано:
– Малко стандартно отклонение: данните са групирани близо до средната стойност, вариацията е ниска, резултатите са по-последователни.
– Голямо стандартно отклонение: данните са разпръснати далеч от средната стойност, вариацията е голяма, резултатите са по-малко последователни.
Например, да предположим, че два класа имат еднакъв среден резултат, 74. Ако клас А има стандартно отклонение от 5, а клас Б стандартно отклонение от 15, тогава резултатите в клас А са по-равномерни и стабилни. Клас Б има по-големи вариации: някои са много ниски, а други са много високи.
7. Често срещани грешки
Някои често срещани грешки при изчисляване на стандартното отклонение:
1. Забравих да направя разлика между извадка и генерална съвкупност, така че делителът е грешен (N срещу n − 1).
2. Грешно изчисляване на средната стойност, което води до грешни резултати във всички следващи стъпки.
3. Забравяне да се повдигне разликата на квадрат или допускане на грешка при извличане на корен квадратен накрая.
4. Аритметични грешки при събиране или изчисляване на квадрати на числа.
Предотвратяването на грешки може да се осъществи чрез създаване на таблица за изчисление и двойна проверка на резултатите.
Затваряне
Изчисляването на стандартното отклонение всъщност не е трудно, ако следвате правилно стъпките: изчислете средната стойност, намерете разликата между всеки набор от данни, повдигнете разликите на квадрат, съберете ги, разделете (на n или n − 1) и след това извлечете корен квадратен. Разбирайки стандартното отклонение, можете да оцените колко последователни са вашите данни и колко вариации има.
Ако желаете, мога да създам и допълнителни примери с повече данни, примери за групирани данни (честотни таблици) или как да се изчисли стандартното отклонение с помощта на Excel/Google Sheets.
