Примерни въпроси и дискусия: Дисперсия и стандартно отклонение на единични данни
Статистиката е дял от математиката, занимаващ се със събирането, анализа, интерпретацията, представянето и организирането на данни. Две важни понятия в статистиката са дисперсията и стандартното отклонение. Тази статия ще обсъди подробно как да се изчисли дисперсията и стандартното отклонение на един набор от данни чрез няколко примерни задачи.
Разбиране на дисперсията и стандартното отклонение
Дисперсията е мярка, която количествено определя доколко числата в даден набор от данни са разпръснати от средната стойност. Дисперсията се изразява в квадратни единици на оригиналните данни, което често я прави трудна за интерпретация.
Стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията. То предоставя по-интуитивна мярка за това доколко данните се отклоняват от средната стойност, тъй като мерните единици са същите като оригиналните мерни единици на данните.
Обща формула
За единични данни, формулата за дисперсията ( \sigma^2 \) и стандартното отклонение ( \sigma \) на генералната съвкупност е следната:
1. Дисперсия (σ²):
( σ² = 1/2 N = 1/2 N (x₁ – μ)²)
2. Стандартно отклонение (σ):
( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Къде:
– \( N \) е броят на данните в популацията.
– \(x_i \) е i-тата стойност на данните.
– \( \mu \) е средната стойност или осреднената стойност на данните.
Ако изчислим дисперсията и стандартното отклонение на извадката, тогава горната формула е леко модифицирана:
1. Дисперсия на извадката (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандартно отклонение (отклонения) на извадката:
(s = √(1/n-1) = (x_i – x)^2)
Къде:
– \(n \) е броят на данните в извадката.
– \( \bar{x} \) е средната стойност или осреднената стойност на извадката.
Контох Соал и Пембахасан
Примерен въпрос 1:
Предвид следните данни:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Изчислете дисперсията и стандартното отклонение на данните!
Стъпки на решението:
1. Изчисляване на средната стойност (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Изчислете разликата между данните и средната стойност, след което повдигнете на квадрат:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Събиране на всички квадратирани резултати:
\[
\сума (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Изчисляване на дисперсията (σ²) на данните за популацията:
\[
σ² = 21.3534 6 = 3.559
\]
Забележка: Тъй като тези данни са посочени като данни за населението, делим на 6.
5. Изчисляване на стандартното отклонение (σ):
\[
σ = 3.559 = приблизително 1.886
\]
Така че, дисперсията на данните е 3.559, а стандартното отклонение е 1.886.
Примерен въпрос 2:
Като се имат предвид следните примерни данни:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Изчислете дисперсията и стандартното отклонение на извадката!
Стъпки на решението:
1. Изчисляване на средната стойност (Mean) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Изчислете разликата между данните и средната стойност, след което повдигнете на квадрат:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Събиране на всички квадратирани резултати:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Изчисляване на дисперсията на извадката (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Забележка: Тъй като това са примерни данни, делим на 5 (n-1).
5. Изчисляване на стандартно отклонение (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Така че, дисперсията на данните от извадката е 5.351, а стандартното отклонение е 2.313.
Заключение
Изчисляването на дисперсията и стандартното отклонение е жизненоважно за разбирането на това как данните са разпределени в даден набор. Докато дисперсията предоставя теоретична мярка за дисперсия в квадрати на оригиналните единици, стандартното отклонение интерпретира мярката за дисперсия по отношение на оригиналните единици на данните, което я прави по-лесна за разбиране. В анализа на данни тези две мерки често се използват за оценка на променливостта на данните и за вземане на статистически решения.
Като разбираме необходимите стъпки и формули, можем лесно да изчислим дисперсията и стандартното отклонение за различни ситуации, с които се сблъскваме при ежедневното събиране и анализ на данни. Надяваме се, че тази статия предоставя по-задълбочено разбиране на понятията дисперсия и стандартно отклонение в единични набори от данни.
