Примерни въпроси и обсъждане на корелацията на произведението на моментите
Корелацията произведение-момент, известна още като корелация на Пиърсън, е статистически метод, използван за измерване на силата и посоката на линейна връзка между две променливи. Този метод е полезен в различни области, от академични изследвания и бизнес анализ до оценка на експерименти в естествените науки. Тази статия ще обсъди няколко примерни задачи и техните решения за изчисляване на корелацията произведение-момент.
Пендахулуан
Преди да преминем към примерните въпроси, е добре да разберем основната концепция за корелация на продуктовия момент. Общата формула, използвана за изчисляване на коефициента на корелация на Пиърсън (r), е:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Къде:
– \(n \) е броят на двойките данни.
– \( \sum{XY} \) е сумата от произведенията на \( X \) и \( Y \).
– \( \sum{X} \) е сумата от променливите \( X \).
– \( \sum{Y} \) е сумата от променливите \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) е сумата от квадратите на променливата \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) е сумата от квадратите на променливата \( Y \).
Коефициентът на корелация на Пиърсън (\(r \)) винаги е между -1 и 1. Положителната корелация показва, че и двете променливи се движат в една и съща посока, докато отрицателната корелация показва, че с увеличаването на едната променлива, другата намалява. Ако \(r = 0 \), тогава няма линейна корелация между двете променливи.
Примерен въпрос 1
Дата
Следват данните за резултатите от изпитите по математика и физика за 5 ученици:
| Ученик | Математика (X) | Физика (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Стъпки за разрешаване
1. Изчисляване на важни компоненти:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– (XY) = (85/90) + (78/85) + (85/80) + (70/70) + (80/88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– ( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Въведете във формулата:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Изчисляване на резултатите:
– Числител: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Знаменател:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[r = \frac{626}{989.36} \приблизително 0.633 \]
По този начин, коефициентът на корелация на Пиърсън между резултатите от тестовете по математика и физика е 0.633, което показва, че има умерена положителна корелация между двете променливи.
Примерен въпрос 2
Дата
Следват данни за стойността на продажбите и разходите за реклама за 6 месеца в компанията:
| Месец | Реклама (X) | Продажби (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Стъпки за разрешаване
1. Изчисляване на важни компоненти:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– ( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– ( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Въведете във формулата:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Изчисляване на резултатите:
– Числител: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Знаменател:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[r = \frac{3000000}{3056246.20} \приблизително 0.981 \]
По този начин, коефициентът на корелация на Пиърсън между разходите за реклама и стойността на продажбите е 0.981, което показва, че има много силна положителна корелация между двете променливи.
Заключение
Коефициентът на корелация на Пиърсън (r) е много полезен инструмент за разбиране на линейната връзка между две променливи. В предоставените примери виждаме как да изчислим стойността на r и да я интерпретираме. По-висока корелация (по-близо до 1 или -1) показва по-силна връзка, докато по-ниска корелация (по-близо до 0) показва по-слаба връзка. Важно е да се отбележи, че корелацията не предполага причинно-следствена връзка; тя просто показва, че има връзка между двете променливи.
