Метады разліку медыяны для адзінкавых і згрупаваных дадзеных
Медыяна — гэта мера цэнтральнай тэндэнцыі, якая часта выкарыстоўваецца ў статыстыцы. У адрозненне ад сярэдняга (сярэдняга), якое складае ўсе значэнні, а затым дзеліць на колькасць значэнняў, медыяна падкрэслівае «сярэдняе значэнне» адсартаванага набору дадзеных. З-за сваёй арыентацыі на пазіцыю медыяна адносна ўстойлівая да экстрэмальных значэнняў (выкідаў), напрыклад, калі адно значэнне вельмі вялікае або вельмі малое ў параўнанні з іншымі. Вось чаму медыяна шырока выкарыстоўваецца ў аналізе эканамічных дадзеных, адукацыі, сацыяльных даследаваннях і нават ацэнцы вынікаў тэстаў.
У гэтым артыкуле мы абмяркуем метады разліку медыяны для двух тыпаў дадзеных: адзінкавых дадзеных (незгрупаваных) і згрупаваных дадзеных (прадстаўленых у табліцы размеркавання частот). Акрамя формулы, абмеркаванне будзе ўключаць практычныя крокі для лёгкай рэалізацыі.
-
1. Асноўнае паняцце медыяны
Медыяна — гэта сярэдняе значэнне пасля адсартавання дадзеных ад найменшага да найбольшага. Калі колькасць кропак дадзеных няцотная, медыяна — гэта дакладнае сярэдняе значэнне. Калі колькасць кропак дадзеных цотная, медыяна — гэта сярэдняе значэнне двух сярэдніх значэнняў.
Інтуітыўна зразумела, што медыяна падзяляе дадзеныя на дзве часткі:
– 50% дадзеных ніжэйшыя за медыяну (або роўныя ёй)
– 50% дадзеных вышэйшыя за медыяну (або роўныя ёй)
Паколькі медыяна разлічваецца па парадку, першы крок, які амаль заўсёды патрабуецца, — гэта сартаванне дадзеных.
-
2. Разлік медыяны для адзінкавых дадзеных
Адзінкавыя даныя — гэта даныя, якія прадстаўлены як ёсць (напрыклад, спіс адзнак студэнтаў), а не абагульнены ў інтэрвальных класах, як у групавых даных.
А. Агульныя крокі
1. Адсартуйце дадзеныя ад найменшага да найбольшага значэння.
2. Вызначце колькасць дадзеных, напрыклад, n.
3. Вызначце становішча медыяны:
– Калі n няцотнае, медыяна знаходзіцца ў пазіцыі \((n+1)/2\).
– Калі n цотнае, медыяна — гэта сярэдняе значэнне дадзеных у пазіцыях \(n/2\) і \((n/2)+1\).
B. Формула медыяны для адзінкавых дадзеных
– Калі n няцотнае:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
Гэта азначае, што медыяна — гэта значэнне дадзеных у парадку \((n+1)/2\).
– Калі n цотнае:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Прыклад адзінкавых дадзеных (n няцотных)
Дадзеныя: 7, 2, 9, 4, 3
1) Сартаваць: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (няцотны)
3) Сярэдняе становішча = \((5+1)/2 = 3\)
Медыяна = 3-е даныя = 4
Такім чынам, медыяна дадзеных роўная 4.
D. Прыклад адзінкавых дадзеных (n цотных)
Дадзеныя: 10, 4, 6, 8
1) Сартаваць: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (цотны)
3) Сярэдняе становішча — гэта 2-е і 3-е дадзеныя
Медыяна = \((6 + 8)/2 = 7\)
Такім чынам, медыяна дадзеных роўная 7.
E. Важная заўвага: Дадзеныя з частатой
Часам адзін набор дадзеных можа быць зададзены ў выглядзе значэння і частаты (напрыклад, 60 сустракаецца двойчы, 70 — пяць разоў). У гэтым выпадку медыяна ўсё яшчэ знаходзіцца на аснове «парадку» дадзеных, але мы можам выкарыстоўваць сукупную частату для вызначэння пазіцыі медыяны, не пералічваючы кропкі дадзеных асобна. Прынцып той жа: знайсці (n+1)/2-ю пазіцыю (няцотная) або (n/2) і (n/2)+1-ю пазіцыю (цотная), а затым паглядзець на значэнні, якія пакрываюць гэтую пазіцыю, на аснове сукупнай частаты.
-
3. Вылічэнне медыяны для згрупаваных дадзеных
Згрупаваныя даныя — гэта даныя, якія былі абагульнены ў інтэрвалы класаў і іх частаты. Напрыклад: 3 чалавекі ростам 150–154 см, 8 чалавек ростам 155–159 см і гэтак далей. У адрозненне ад адзінкавых даных, медыяна згрупаваных даных звычайна не вызначаецца дакладна, бо мы не ведаем асобныя значэнні ў інтэрвале. Таму медыяна разлічваецца з дапамогай набліжэння (ацэнкі) па формуле медыяны для згрупаваных размеркаванняў.
А. Важныя тэрміны ў медыяне групавых дадзеных
Перш чым выкарыстоўваць формулу, нам трэба зразумець некалькі кампанентаў:
– n = агульная частата (агульная колькасць дадзеных)
– n/2 = сукупная медыянная пазіцыя
– Медыянны клас = першы інтэрвальны клас, які дае кумулятыўную частату ≥ n/2
– L = ніжняя мяжа медыянага класа (не ніжняя мяжа, а мяжа класа; для бесперапынных дадзеных звычайна выкарыстоўваецца карэкціроўка 0,5, калі дадзеныя цэлыя лікі)
– F = сукупная частата перад медыянным класам
– f = сярэдняя частата класа
– c = даўжыня класа (шырыня інтэрвалу)
B. Этапы вызначэння медыяны групавых дадзеных
1. Стварыце табліцу размеркавання частот і дадайце слупок з сукупнай частатой.
2. Вылічыце n (колькасць частот) і вызначце n/2.
3. Вызначце медыянны клас, гэта значыць клас, які ўключае n/2 пазіцый на аснове сукупнай частаты.
4. Увядзіце значэнні ў формулу медыяны для групавых дадзеных.
C. Медыянная формула для групавых дадзеных
\[
Me = L + (n² – Ff) памножанае на c
\]
Гэтая формула выконвае лінейную інтэрпаляцыю ў межах медыяны класа, мяркуючы, што дадзеныя раўнамерна размеркаваны па ўсім інтэрвале класа.
D. Прыклад медыяны групавых дадзеных
Напрыклад, наступныя дадзеныя аб выніках тэсту:
| Інтэрвал значэнняў | Частата (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Агульная частата:
\[
n = 5 + 8 + 12 + 10 + 5 = 40
\]
2) Вылічыце n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Агульная частата:
– 40–49: 5
– 50–59: 5 + 8 = 13
– 60–69: 13 + 12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
20-я пазіцыя знаходзіцца ў класе з першым сукупным балам ≥ 20, а менавіта 60–69. Такім чынам, гэта медыянны клас.
4) Вызначце кампаненты:
– L = ніжняя мяжа медыяннага класа. Для інтэрвалу 60–69 ніжняя мяжа роўная 59,5 (калі дадзеныя з'яўляюцца цэлым лікам).
– F = сукупная частата перад медыянай класа = 13
– f = сярэдняя частата класа = 12
– c = працягласць класа = 10
5) Увядзіце ў формулу:
\[
Me = 59,5 + (20 – 13 (12)) памножанае на 10
\]
\[
Me = 59,5 + (7/12) памножана на 10
\]
\[
Я = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Такім чынам, медыяна групавых дадзеных складае прыблізна 65,33.
-
4. Распаўсюджаныя памылкі
Некаторыя распаўсюджаныя памылкі пры разліку медыяны:
1. Не сартаванне дадзеных па адзінкавых дадзеных, таму сярэдняе значэнне недакладнае.
2. Няправільнае вызначэнне становішча медыяны пры цотным n (трэба ўзяць сярэдняе значэнне двух сярэдніх значэнняў).
3. Для групавых дадзеных няправільна выбіраць медыяну класа, бо гэта не стварае кумулятыўнай частаты.
4. Выкарыстанне ніжняй мяжы класа ніжняга краю (L), калі дадзеныя з'яўляюцца бесперапыннымі/інтэрвальнымі цэлымі лікамі.
5. Няправільнае вызначэнне працягласці занятку (c), асабліва калі інтэрвалы непаслядоўныя.
-
5. Заключэнне
Медыяна — гэта простая, але магутная мера цэнтральнай тэндэнцыі, асабліва калі дадзеныя ўтрымліваюць экстрэмальныя значэнні. Для асобных набораў дадзеных медыяна вызначаецца непасрэдна з сярэдняй пазіцыі пасля сартавання дадзеных, з рознай апрацоўкай для цотных і няцотных нумароў набораў дадзеных. Тым часам для згрупаваных набораў дадзеных медыяна разлічваецца з выкарыстаннем інтэрпаляцыйнай формулы на аснове класа медыяны, сукупнай частаты і даўжыні класа.
Разумеючы канцэпцыю і этапы, вы можаце хутка і дакладна вылічыць медыяну як на простых дадзеных, так і на дадзеных, зведзеных у табліцы. У многіх аналітычных сітуацыях медыяна з'яўляецца больш прадстаўнічым выбарам, чым сярэдняе значэнне, асабліва калі размеркаванне дадзеных асіметрычнае або змяшчае выкіды.
Калі хочаце, я магу дадаць практычныя пытанні і абмеркаванні, каб палепшыць ваша разуменне медыяны адзінкавых і групавых дадзеных.
