Розніца паміж сярэднім значэннем, медыянай і модай у апісальнай статыстыцы
У апісальнай статыстыцы адна з галоўных мэтаў — абагульненне дадзеных для лёгкага разумення. Вялікія, разнастайныя і часам «брудныя» дадзеныя будуць больш інфарматыўнымі, калі іх прадставіць у выглядзе мер цэнтральнай тэндэнцыі. Тры найбольш часта выкарыстоўваныя меры цэнтральнай тэндэнцыі — гэта сярэдняе значэнне, медыяна і мода. Хоць усе тры імкнуцца паказаць «рэпрэзентатыўнае значэнне» набору дадзеных, іх метады працы, адчувальнасць да выкідаў і адпаведныя сітуацыі выкарыстання істотна адрозніваюцца.
У гэтым артыкуле абмяркоўваецца значэнне, спосабы разліку, перавагі і недахопы, а таксама прыклады прымянення сярэдняга значэння, медыяны і моды, каб вы маглі выбраць найбольш прыдатную меру для аналізаваных дадзеных.
1. Сярэдняе значэнне (Average): вызначэнне і як яго разлічыць
Сярэдняе значэнне — гэта сума ўсіх значэнняў дадзеных, падзеленая на колькасць кропак дадзеных. Сярэдняе значэнне, якое часта называюць «сярэднім», найбольш знаёмае ў паўсядзённым жыцці. Яно дае здымак цэнтральнай часткі дадзеных, разглядаючы ўсе значэнні прапарцыйна.
Сярэдняя формула:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
інфармацыя:
– \(\sum x_i\) = сума ўсіх значэнняў дадзеных
– \(n\) = колькасць дадзеных
прыклад:
Выкажам здагадку, што экзаменацыйныя балы пяці студэнтаў: 70, 75, 80, 85, 90
Сярэдняе значэнне = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 400 / 5 = 80
Сярэднія перавагі
1. Выкарыстоўвайце ўсе дадзеныя, каб інфармацыя была поўнай.
2. Лёгка разлічваецца і шырока выкарыстоўваецца ў пашыраным аналізе (напрыклад, дысперсія, стандартнае адхіленне).
3. Падыходзіць для лікавых дадзеных і адносна сіметрычных размеркаванняў.
Сярэдні дэфіцыт
1. Вельмі адчувальны да выкідаў. Адно экстрэмальнае значэнне можа значна адхіліць сярэдняе значэнне ад большасці дадзеных.
2. Не заўсёды адлюстроўвае «тыповыя значэнні», калі размеркаванне дадзеных скажонае.
Прыклады эфектаў выкідаў:
Дадзеныя аб даходах (у мільёнах рупій): 3, 3, 4, 4, 5, 50
Сярэдняе значэнне = (3+3+4+4+5+50)/6 = 69/6 = 11,5
Хоць большасць даходаў знаходзяцца ў дыяпазоне 3–5 мільёнаў, сярэдняе значэнне менш рэпрэзентатыўнае.
2. Медыяна (сярэдняе значэнне): вызначэнне і як разлічыць
Медыяна — гэта значэнне пасярэдзіне, калі дадзеныя адсартаваны ад найменшага да найбольшага. Медыяна падкрэслівае пазіцыю, а не агульную велічыню, што робіць яе больш устойлівай да выкідаў.
Як вызначыць медыяну:
1. Сартаваць дадзеныя.
2. Калі колькасць дадзеных няцотная, медыянай з'яўляецца значэнне ў сярэдняй пазіцыі.
3. Калі колькасць дадзеных цотная, медыяна — гэта сярэдняе значэнне двух сярэдніх значэнняў.
Прыклад (няцотны):
Дадзеныя: 2, 3, 5, 7, 9
Медыяна = сярэдняе значэнне = 5
Прыклад (цотны):
Дадзеныя: 10, 20, 30, 40
Медыяна = (20 + 30) / 2 = 25
Сярэднія перавагі
1. Устойлівы да выкідаў і экстрэмальных значэнняў.
2. Падыходзіць для скажоных дадзеных, такіх як даход, цэны на жыллё або час чакання.
3. Можа выкарыстоўвацца для парадкавых дадзеных (напрыклад, рэйтынгі задаволенасці: вельмі задаволены, задаволены, нейтральны, незадаволены).
Сярэднія недахопы
1. Не выкарыстоўвае ўсе значэнні дадзеных у сваіх разліках (больш «на аснове пазіцыі»).
2. Менш падыходзіць для складанага матэматычнага аналізу, які патрабуе сярэдніх уласцівасцей.
Калі мы вернемся да прыкладу з даходам: 3, 3, 4, 4, 5, 50
Дадзеныя адсартаваныя, медыяна для 6 дадзеных — гэта сярэдняе значэнне 3-га і 4-га значэнняў: (4 + 4) / 2 = 4
Гэтая медыяна значна больш адпавядае большасці ўмоў.
3. Мод (найбольшая каштоўнасць): вызначэнне і як яго вызначыць
Мода — гэта значэнне, якое часцей за ўсё сустракаецца ў наборы дадзеных. У некаторых выпадках дадзеныя могуць мець:
– Адзін рэжым (унімадальны): адно значэнне з'яўляецца часцей за ўсё
– Два рэжымы (бімадальныя): часцей за ўсё з'яўляюцца два значэнні
– Шмат рэжымаў (мультымадальны)
– Няма рэжыму: калі ўсе значэнні з'яўляюцца з аднолькавай частатой
прыклад:
Дадзеныя: 2, 3, 3, 4, 5
Рэжым = 3 (з'яўляецца найчасцей)
Бімадальны прыклад:
Дадзеныя: 1, 2, 2, 3, 3, 4
Рэжым = 2 і 3
Перавагі рэжыму
1. Адзіная мера цэнтральнай тэндэнцыі, якую можна выкарыстоўваць для намінальных дадзеных (напрыклад, любімы колер, найбольш пераважная марка).
2. Лёгка зразумець, бо адразу паказвае найбольш дамінуючую катэгорыю/каштоўнасць.
3. Не падвяргаецца ўздзеянню выкідаў у тым сэнсе, што экстрэмальныя значэнні не змяняюць частату найбольш часта сустракаемых значэнняў.
Адсутнасць рэжыму
1. Часам яно не ўнікальнае (іх можа быць больш за адзін) або нават не існуе.
2. Можа быць менш стабільным; невялікія змены ў дадзеных могуць змяніць рэжым.
3. Не заўсёды матэматычна адлюстроўвае «цэнтр» дадзеных.
4. Асноўныя адрозненні паміж сярэднім значэннем, медыянай і модай
Карацей кажучы, адрозненні паміж гэтымі трыма можна ўбачыць з пункту гледжання метаду разліку, адчувальнасці да выкідаў і адпаведных тыпаў дадзеных:
1. Сярэдняе значэнне выкарыстоўвае ўсе значэнні, найлепш падыходзіць для сіметрычных лікавых дадзеных, але адчувальнае да выкідаў.
2. Медыяна, заснаваная на пазіцыі, падыходзіць для скажоных дадзеных, больш устойлівая да выкідаў.
3. Рэжым, заснаваны на частаце, падыходзіць для катэгарыяльных/намінальных дадзеных і для прагляду найбольш дамінуючага значэння.
У многіх падручніках па статыстыцы існуе агульная залежнасць паміж трыма размеркаваннямі:
– Сіметрычнае размеркаванне: сярэдняе ≈ медыяна ≈ мода
– Размеркаванне скажонае ўправа (скажэнне ўправа): сярэдняе значэнне > медыяна > мода
– Размеркаванне з левай асіметрыяй: сярэдняе < медыяна < мода Аднак гэта тэндэнцыя, а не абсалютнае правіла. 5. Калі выкарыстоўваць сярэдняе значэнне, медыяну або моду? Выбар адпаведнай меры цэнтральнай тэндэнцыі залежыць ад характару дадзеных і мэты аналізу. Выкарыстоўвайце сярэдняе значэнне, калі: - Дадзеныя лікавыя (інтэрвал/суадносіны). - Размеркаванне адносна сіметрычнае. - Няма экстрэмальных выкідаў або выкіды былі апрацаваны. - Вам патрэбна аснова для іншых статыстычных разлікаў. Прыклад сітуацыі: сярэднія балы тэстаў у класе са справядлівым размеркаваннем балаў.
