Метад бутстрэпа ў статыстыцы
Пендахулуан
Статыстыка — гэта навука, мэтай якой з'яўляецца збор, аналіз, інтэрпрэтацыя і прадстаўленне дадзеных. Статыстычны аналіз часта абапіраецца на пэўныя здагадкі або тэорыі імавернасцей, якія патрабуюць вялікіх памераў выбаркі для атрымання дакладных ацэнак. Аднак у многіх сітуацыях атрыманне вялікіх выбарак не з'яўляецца ні практычным, ні магчымым. Менавіта тут вельмі карысным становіцца метад бутстрэпа, метад паўторнай выбаркі.
Метад бутстрэпа быў упершыню прапанаваны Брэдлі Эфранам у 1979 годзе і стаў адным з самых папулярных метадаў у статыстыцы дзякуючы сваёй гнуткасці і здольнасці атрымліваць дакладныя ацэнкі для многіх параметраў папуляцыі без неабходнасці рабіць канкрэтныя здагадкі аб размеркаванні. У гэтым артыкуле будуць выкладзены асноўныя прынцыпы метаду бутстрэпа, этапы яго рэалізацыі і некалькі прыкладаў яго прымянення ў статыстыцы.
Асноўныя прынцыпы метаду Bootstrap
Метад бутстрэпа — гэта непараметрычны падыход, які дазваляе ацаніць размеркаванне статыстыкі (напрыклад, сярэдняга значэння, медыяны, дысперсіі) шляхам паўторнай выбаркі зыходных дадзеных. Асноўны прынцып гэтага метаду заключаецца ў выкарыстанні існуючых дадзеных (зыходнай выбаркі) для мадэлявання многіх новых набораў дадзеных з паўторнай выбаркай.
Ніжэй прыведзены асноўныя крокі, якія выконваюцца ў метадзе bootstrap:
1. Паўторная выбарка: з зыходнага набору дадзеных памерам N паўторная выбарка з заменай. Гэта азначае, што элементы, выбраныя для аналізу, можна выбраць больш за адзін раз.
2. Разлік статыстыкі: Разлічыце патрэбную статыстыку (напрыклад, сярэдняе значэнне, медыяну) для кожнай паўторнай выбаркі.
3. Паўтарыце працэс: паўтарыце крокі 1 і 2 некалькі разоў (напрыклад, B=1000 або больш), каб атрымаць бутстрэп-размеркаванне цікавай вам статыстыкі.
4. Ацэнка і выснова: выкарыстоўвайце гэтае бутстрэп-размеркаванне для стварэння даверных інтэрвалаў, праверкі гіпотэз або стварэння іншых высноўных статыстычных дадзеных.
Этапы рэалізацыі Bootstrap
Метад бутстрэпа можна больш падрабязна растлумачыць на наступных этапах:
1. Паўторная выбарка
Сутнасць метаду бутстрэпу — гэта паўторная выбарка з заменай. Выкарыстоўваючы зыходныя дадзеныя, мы ствараем мноства новых набораў дадзеных, якія называюцца бутстрэп-выбаркамі. Кожны бутстрэп-выбар з'яўляецца вынікам N-разовай выбаркі з зыходнага набору дадзеных памерам N, але з заменай, так што элементы з зыходнага выбару могуць з'яўляцца ў бутстрэп-выбарках больш за адзін раз.
прыклад:
Калі ў нас ёсць зыходныя дадзеныя \[3, 5, 7, 9\], то адным з магчымых узораў бутстрэпа можа быць \[3, 9, 9, 5\].
2. Разлік статыстыкі Bootstrap
Для кожнай бутстрэп-выбаркі вылічыце патрэбную статыстыку. Дапусцім, нас цікавіць сярэдняе значэнне, мы вылічым сярэдняе значэнне для кожнай бутстрэп-выбаркі. Калі паўтарыць гэты працэс B разоў, мы атрымаем B ацэнак сярэдняга значэння.
3. Фарміраванне Bootstrap-дыстрыбутыва
Аб'ядноўваючы ўсе статыстычныя дадзеныя, разлічаныя з B бутстрэп-выбарак, мы будуем бутстрэп-размеркаванне патрэбнай статыстыкі. Гэтае размеркаванне выкарыстоўваецца для прыблізнай выбарачнай ацэнкі статыстыкі.
4. Статыстычны вывад
З гэтага бутстрэп-размеркавання мы можам рабіць розныя статыстычныя высновы. Напрыклад, мы можам вызначыць даверныя інтэрвалы, бяручы перцэнтылі з бутстрэп-размеркавання, або праверыць гіпотэзы, гледзячы на p-значэнне, атрыманае з гэтага размеркавання.
Прыклад выкарыстання метаду Bootstrap
Каб лепш зразумець сітуацыю, давайце разгледзім некалькі прыкладаў таго, як метад бутстрэпа выкарыстоўваецца на практыцы.
Прыклад 1: Сярэдні даверны інтэрвал
Дапусцім, у нас ёсць выбарка дадзеных аб вазе цела 10 асобін наступным чынам: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. З гэтых дадзеных мы бярэм 1000 бутстрэп-выбараў аднолькавага памеру, напрыклад:
– Прыклад 1: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– Прыклад 2: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- і г.д.…
2. З кожнага ўзору бутстрэпа мы вылічваем сярэдняе значэнне:
– Сярэдняе значэнне выбаркі 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Сярэдняе значэнне выбаркі 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- і г.д.…
3. Паўтарыўшы гэты крок 1000 разоў, мы атрымаем 1000 сярэдніх ваг.
4. З дапамогай гэтых 1000 сярэдніх дадзеных мы фарміруем бутстрэп-размеркаванне і бярэм 2.5-ы і 97.5-ы перцэнтылі для стварэння 95% давернага інтэрвалу.
Прыклад 2: Праверка гіпотэзы аб некалькіх медыянах
Дапусцім, мы хочам праверыць, ці роўныя медыяны двух набораў дадзеных. Мы можам выкарыстаць бутстрэпінг, каб стварыць размеркаванне рознасці медыян.
1. Вазьміце ўзоры бутстрэпа з кожнага зыходнага набору дадзеных.
2. Вылічыце медыянную розніцу для кожнай бутстрэп-выбаркі.
3. Стварыце размеркаванне медыянных розніц бутстрэпа.
4. Праверце, ці трапляе нуль у даверны інтэрвал размеркавання.
Перавагі і абмежаванні метаду Bootstrap
Лішак
– Непараметрычны: не патрабуе здагадак аб размеркаванні дадзеных.
– Эфектыўнасць для невялікіх узораў: эфектыўны нават для невялікіх узораў.
– Гнуткі: можа быць ужыты да розных статыстычных дадзеных, у тым ліку да сярэдняга значэння, медыяны, каэфіцыента рэгрэсіі і г.д.
– Прастата рэалізацыі: з развіццём вылічальных тэхналогій метад бутстрэпа даволі лёгка рэалізаваць з дапамогай статыстычнага праграмнага забеспячэння, такога як R або Python.
Абмежаванні
– Вылічальныя выдаткі: можа патрабаваць шмат вылічальных рэсурсаў, асабліва пры вялікіх аб'ёмах дадзеных або вялікай колькасці ўзораў бутстрэпа (B).
– Разнастайнасць выбаркі: падыходзіць толькі для выбарак, якія дастаткова прадстаўнічыя для зыходнай папуляцыі.
– Не абараняе ад зрушэння: калі зыходныя дадзеныя зрушаныя, то ўсе ўзоры бутстрэпа будуць утрымліваць аднолькавае зрушэнне.
Выснова
Метад бутстрэпа прапануе магутнае і гнуткае рашэнне многіх задач статыстычнага вываду. Дзякуючы сваёй здольнасці эфектыўна ацэньваць размеркаванне розных статыстычных дадзеных без уліку якога-небудзь канкрэтнага размеркавання, метад бутстрэпа стаў каштоўным інструментам у аналізе дадзеных. Нягледзячы на свае абмежаванні, перавагі, якія ён прапануе, часта перавышаюць вылічальныя выдаткі. Пры правільным выкарыстанні метад бутстрэпа можа даць багатае і больш дакладнае разуменне статыстычнага аналізу.
