Як разлічыць квартылі, дэцылі і перцэнтылі ў статыстычных дадзеных
У статыстыцы нам часта трэба вызначыць пазіцыю значэння ў наборы дадзеных. Простага разліку сярэдняга значэння або медыяны недастаткова, бо гэтыя паказчыкі не апісваюць, як размеркаваны дадзеныя і як назіранне параўноўваецца з іншымі. Вось тут і ўступаюць у гульню квартылі, дэцылі і перцэнтылі. Гэтыя тры паказчыкі пазіцыі дзеляць адсартаваныя дадзеныя на роўныя часткі. У гэтым артыкуле абмяркоўваюцца азначэнні, агульныя крокі і тое, як разлічыць квартылі, дэцылі і перцэнтылі як для адзінкавых, так і для згрупаваных набораў дадзеных.
-
1. Асноўная канцэпцыя: Дадзеныя павінны быць адсартаваны
Перад вылічэннем квартыляў, дэцыляў або перцэнтыляў найважнейшым крокам з'яўляецца сартаванне дадзеных ад найменшага да найбольшага. Пасля адсартавання дадзеных мы можам вызначыць месцазнаходжанне квартыляў, дэцыляў або перцэнтыляў на аснове іх індэксных пазіцый.
Увогуле:
– Квартылі дзеляць дадзеныя на 4 часткі.
– Дэцылі дзеляць дадзеныя на 10 частак.
– Перцэнтылі дзеляць дадзеныя на 100 частак.
На практыцы для аналізу вынікаў тэстаў, дадзеных аб даходах, антрапаметрычных паказчыкаў (рост/вага) і ацэнкі прадукцыйнасці звычайна выкарыстоўваюцца квартылі, дэцылі і перцэнтылі.
-
2. Як разлічыць квартылі (Q1, Q2, Q3)
А. Квартылі ў адзінкавых дадзеных (не згрупаваныя)
Квартылі складаюцца з:
– Q1: ніжні квартыль (25% дадзеных знаходзяцца ніжэй за яго)
– Q2: медыяна (50%)
– 3-ці квартал: верхні квартыль (75%)
Крокі для разліку асобных квартыляў дадзеных:
1. Сартаваць дадзеныя.
2. Вылічыце пазіцыю квартыля, выкарыстоўваючы формулу пазіцыі:
– Пазіцыя Q1 = \((n+1)/4\)
– Пазіцыя Q2 = \(2(n+1)/4\) або \((n+1)/2\)
– Пазіцыя Q3 = \(3(n+1)/4\)
Калі пазіцыя з'яўляецца цэлым лікам, вазьміце значэнне ў гэтай пазіцыі. Калі пазіцыя з'яўляецца дробам, інтэрпалюйце (вазьміце значэнне паміж двума бліжэйшымі кропкамі дадзеных).
Кароткі прыклад:
Адсартаваныя дадзеныя: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Пазіцыя Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → знаходзіцца паміж 2-й і 3-й дадзенымі.
Такім чынам, Q1 знаходзіцца паміж 6 і 7. Інтэрпаляцыя:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Квартылі ў згрупаваных дадзеных (размеркаванне частаты)
Для згрупаваных дадзеных (напрыклад, інтэрвалаў класаў) квартылі разлічваюцца па формуле:
\[
Q_k = L + ((k4n – F)f) × c
\]
інфармацыя:
– \(Q_k\): k-ы квартыль (k = 1, 2, 3)
– \(L\): ніжняя мяжа класа квартыляў
– \(n\): колькасць дадзеных (агульная частата)
– \(F\): сукупная частата перад квартыльным класам
– \(f\): частата ў квартыльным класе
– \(c\): працягласць класа
Агульныя крокі:
1. Стварыце кумулятыўную частату.
2. Вызначце месцазнаходжанне квартыля: \(k/4 \times n\).
3. Знайдзіце клас, які змяшчае гэтую пазіцыю.
4. Увядзіце ў формулу.
-
3. Як разлічыць дэцылі (ад D1 да D9)
Дэцылі дзеляць дадзеныя на 10 частак, так што:
– \(D_1\) паказвае ніжнюю мяжу 10% дадзеных,
– \(D_5\) роўна медыяне,
– \(D_9\) паказвае ліміт дадзеных у 90%.
А. Дэцылі ў адзінкавых дадзеных
Формула пазіцыі дэцыля:
\[
\text{Пазіцыя} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
дзе \(k = 1, 2, \dots, 9\).
Пасля таго, як пазіцыя атрымана, метад вызначэння значэння такі ж, як і для квартыля: калі яно цэлае, бярэцца непасрэдна, калі дробавае, інтэрпалюецца.
-
B. Дэцылі ў згрупаваных дадзеных
Дэцыльная формула для згрупаваных дадзеных:
\[
D_k = L + ((k10n – F)f) × c
\]
Апісанне такое ж, як і ў квартыля, толькі дзельнік роўны 10.
Крок:
1. Вылічыце \(k/10 \помножана на n\).
2. Вызначце дэцыльны клас на аснове сукупнай частаты.
3. Падстаўце ў формулу.
Дэцылі часта выкарыстоўваюцца ў эканамічным аналізе, напрыклад, для дзялення даходаў людзей на 10 груп (дэцыл 1 — найбяднейшы, дэцыл 10 — найбагацейшы).
-
4. Як разлічыць перцэнтылі (ад P1 да P99)
Перцэнтылі больш падрабязныя, бо яны дзеляць даныя на 100 частак. Значэнне P25 = Q1, P50 = медыяна, а P75 = Q3. Гэта азначае, што квартылі насамрэч з'яўляюцца асобным выпадкам перцэнтыляў.
А. Перцэнтылі па асобных дадзеных
Формула перцэнтыльнага становішча:
\[
\text{Пазіцыя} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
дзе \(k = 1, 2, \dots, 99\).
Працэдура такая ж: сартаваць дадзеныя, вылічыць пазіцыю, затым узяць значэнне або інтэрпаляваць.
-
B. Перцэнтылі ў згрупаваных дадзеных
Формула працэнтыля згрупаваных дадзеных:
\[
P_k = L + ((k100n – F)f) × c
\]
Крокі ідэнтычныя дэцылям/квартылям:
1. Вызначце становішча \(k/100 \times n\).
2. Знайдзіце працэнтыльны клас сукупнай частаты.
3. Выкарыстайце формулу.
Перцэнтылі часта выкарыстоўваюцца ў акадэмічных і медыцынскіх ацэнках. Напрыклад, рост дзіцяці на ўзроўні 80-га перцэнтыля азначае, што дзіця вышэйшае за 80% дзяцей яго ўзросту.
-
5. Важныя парады і распаўсюджаныя памылкі
1. Дадзеныя павінны быць адсартаваныя (асабліва адзінкавыя даныя). Без сартавання квартылі/дэцылі/перцэнтылі не маюць сэнсу.
2. Абавязкова выкарыстоўвайце рэбры класаў на згрупаваных дадзеных (не межы класаў), калі вы выкарыстоўваеце бесперапынныя канцэпцыі.
3. Сукупная частата павінна быць правільнай, бо клас квартыля/дэцыля/перцэнтыля вызначаецца з назапашанай частаты.
4. Звярніце ўвагу на працягласць заняткаў (c). Працягласць заняткаў не павінна быць няправільнай, бо гэта ўплывае на вынікі разліку.
5. Інтэрпаляцыя важная, калі пазіцыі не акругляюцца. Многія студэнты адразу акругляюць пазіцыі, нават калі гэта можа знізіць дакладнасць.
-
6. Заключэнне
Квартылі, дэцылі і перцэнтылі — важныя статыстычныя інструменты для разумення размеркавання дадзеных. Квартылі падыходзяць для простых зводак (напрыклад, у скрынкавай дыяграме), дэцылі карысныя для больш падрабязных груповак, такіх як аналіз даходаў, у той час як перцэнтылі дапамагаюць ацаніць становішча вельмі канкрэтнага чалавека ў папуляцыі. Разумеючы асноўныя крокі — упарадкаванне дадзеных, вызначэнне пазіцыі і выкарыстанне адпаведных формул для асобных або згрупаваных дадзеных — вы можаце разлічыць квартылі, дэцылі і перцэнтылі з большай дакладнасцю і ўпэўненасцю.
Калі хочаце, я магу дадаць поўны прыклад згрупаванай табліцы дадзеных (інтэрвал, частата, сукупная частата), а затым падрабязна разлічыць Q1, D7 і P85, каб было лягчэй практыкавацца.
